?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Расскажите мне, пожалуйста, представляете ли вы себе отрезок или окружность состоящими из точек? Можно ли окружность «разобрать» на составляющие ее точки? Если да, то как так можно из не имеющих размера точек составить имеющую размер линию? Как это укладывается в голове?

Аристотель полагал такую возможность абсурдной.

Интересно мнение и математиков, и естественников, и гуманитариев. Я знаю, что математики сейчас вспомнят Лебегову меру, и все сделается интуитивно просто и естественно. Но совсем недавно, до самого конца в XIX в., даже слов таких еще не было. Как бы без них, а обычной, не математической интуицией обойтись?

Прямую линию в геометрии не определяют, но окружность имеет определение.

Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной.

Здесь используется операционное понятие множества. Хотелось бы без него. Попробуем так:

Окружность есть геометрическое место (locus, τόπος) точек, равноудаленных от данной.

Геометрическое место определяется предикативно, не через собирание всех входящих в него точек, а через описание свойства любой из них (не все точки, равноудаленные от данной, образуют собою окружность, но любая точка, принадлежащая окружности, равноудалена от данной). Но это определение, хотя и приводится в классических учебниках, но, на мой взгляд, хромает: две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы, даже если их границы являются плотными множествами точек. Как бы еще это разрулить? Плотная, но не непрерывная линия — тоже не очень интуитивное понятие. Аристотель бы не одобрил.

Евклид: Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (1, 15). Σχῆμα ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον (1, 14). Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας (1, 13).

То есть, круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, обладающая тем свойством, что одинакова длина всех/каждой (πᾶσαι) прямой, падающей на нее из одной точки внутри фигуры. Фигура (σχῆμα) — это то, что содержится внутри границы или границ, а граница (ὅρος) — край/предел (πέρας) чего угодно. Иными словами, у Евклида — геометрическое место, а не множество.

Не представляю себе, насколько современному человеку естественно понятие множества точек, составляющих линию. Для меня, испорченного математикой, оно естественно вполне. Для Аристотеля это было нелепостью. Евклид аккуратно обходит острые углы.

Tags:

Comments

( 81 comments — Leave a comment )
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
degtyarchuk
Apr. 3rd, 2011 02:10 pm (UTC)
можно попытаться определить через действие (способом получения или рисования), например, окружность, это фигура, которая образована полным поворотом отрезка с фиксированным неподвижным концом. радиусом такой окружности будет длина отрезка.
Anatoly Borodin
Apr. 3rd, 2011 08:49 pm (UTC)
Что такое «полный поворот»?
(no subject) - fregimus - Apr. 3rd, 2011 11:16 pm (UTC) - Expand
antihydrogen
Apr. 3rd, 2011 02:11 pm (UTC)
*шёпотом, испуганно оглядываясь*
Главное, чтобы этот пост не увидел Виктор Катюшик!
stoshagownozad
Apr. 3rd, 2011 02:17 pm (UTC)
ну а чё... а чё... ну я не знаю. Я химик, мне легко представить, что из почти не имеющих размера (ну, в достаточном приближении) да к тому же ужасно пустых атомов понаделано все очень даже плотное и ощутимое... Ну и потом, принцип перехода количества в качество очень же наглядная штука. Вот это не куча, и это не куча, а вот это уже несомненно куча...
p_govorun
Apr. 3rd, 2011 02:20 pm (UTC)
Вот я как раз хотел написать: атомисты существовали с давних времён. Наверно, они были просто вынуждены считать прямую совокупностью точек.
p_govorun
Apr. 3rd, 2011 02:19 pm (UTC)
Умение вышивать крестиком способствует пониманию линии как множества точек :-)

Сейчас сильно распространилась пиксельная графика, так что "обычному человеку" вопринять прямую как множество точек нетрудно.
kir16
Apr. 3rd, 2011 02:32 pm (UTC)
Способствует, возможно. Если бы я еще видел, как это - вышивать крестиком. А попробуйте объяснить человеку, что между любыми двумя точками линии есть и другие ее точки.
(no subject) - (Anonymous) - Apr. 3rd, 2011 02:43 pm (UTC) - Expand
(no subject) - kir16 - Apr. 3rd, 2011 03:27 pm (UTC) - Expand
kir16
Apr. 3rd, 2011 02:30 pm (UTC)
Я тоже испорчен математическим образованием, так что множество точек для меня естественно. А многих людей попытки объяснения понятия <>всюду плотное множество</i> вводят в ступор.
fregimus
Apr. 4th, 2011 01:36 am (UTC)
А «всюду неплотное» разрывает мозг в клочья. Я видел.
(Anonymous)
Apr. 3rd, 2011 02:31 pm (UTC)
Именно за счёт "обычной" интуиции и возникали...
... проблемы с понятием непрерывности и прочими сходными вещами. Как раз проблемы, которые тут выскакивают, были ещё древним грекам понятны - Зенон Элейский как раз на этом свою нынешнюю славу снискал, как-никак. И Ньютон с Лейбницем, например, работали почти полностью на своём "чутье", похоже, когда создавали дифференциальное исчисление...
fregimus
Apr. 4th, 2011 01:38 am (UTC)
Re: Именно за счёт "обычной" интуиции и возникали...
Бесконечно малые, мне кажется, более постижимы интуитивно. Просто очень-очень малые. А вот с точками все куда более запущено.
(Anonymous)
Apr. 3rd, 2011 02:33 pm (UTC)
«не через собирание всех входящих в него точек»

Наивная попытка дать определение множеству, конечно, ничем хорошим кончиться не может. Поэтому возьмем лучше какую-нибудь нормальную теорию множеств вроде ZF. В ней о собирании всех элементов ничего не говорится, а вместо этого есть предикат принадлежности. В принципе точно такой же, как в определении геометрического места.

«две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы»

Эта фраза непонятна. Имеются в виду окружности с разными центрами, но одного радиуса? Их равенство, вообще говоря, не следует прямо ни из того, ни из другого определения. Надо доказывать.
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:26 pm (UTC)
Обычный человек с простой человеческой интуицией не знает, что такое ZF, а геометрии в школе учен. Привлечение ZF — уход от интуитивного парадокса. А мне интересно, как справляются с парадоксом люди, не вооруженные ZF.
antihydrogen
Apr. 3rd, 2011 02:47 pm (UTC)
Недавно аналогичным вопросом озадачился бывший шеф: в квантовой теории свободного газа (фотонного или электронного, не важно) мы сначала берем ограниченный ящик, получаем собственные функции и собственные энергии, а потом устремляем размеры ящика к бесконечности и заменяем всюду суммирования на интегрирования. Но ведь у любого сколь угодно большого ящика множество уровней будет счетным, так откуда же там берется континуум?! Я, не будучи математиком, ответил просто: Это СПАРТААА бесконечность, весь континуум из-за нее.
pphantom
Apr. 3rd, 2011 02:55 pm (UTC)
Так ведь и интеграл Римана - это сумма счетного числа слагаемых. :)
(no subject) - antihydrogen - Apr. 3rd, 2011 03:37 pm (UTC) - Expand
(no subject) - pphantom - Apr. 3rd, 2011 05:13 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - Apr. 3rd, 2011 05:27 pm (UTC) - Expand
(no subject) - pphantom - Apr. 3rd, 2011 05:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - Apr. 3rd, 2011 06:09 pm (UTC) - Expand
(no subject) - pphantom - Apr. 3rd, 2011 06:15 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - Apr. 3rd, 2011 08:11 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:30 pm (UTC)
Спасибо, поищу в этом направлении. Не помните ссылок, кто где это разбирал?
(no subject) - (Anonymous) - Apr. 4th, 2011 09:19 am (UTC) - Expand
(no subject) - taceto - Apr. 12th, 2011 08:22 pm (UTC) - Expand
mingqi
Apr. 3rd, 2011 02:58 pm (UTC)
Как и любые первые основания, точки и их совокупности для меня непостижимы, кроме как интуитивно. Хуэй Ши говорил - вроде бы - о точке и прямой: "самое малое, не имеющее ничего внутри, назову малым единством; то, что не имеет толщины и не может накапливаться, простирается на тысячи вёрст".
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:14 pm (UTC)
Но окружность все же определяют как множество точек, оттого я ее и взял в качестве примера. Вот как тут в голове происходит переход от безразмерности точки к небезразмерной окружности?

“That which has no thickness cannot be piled up; yet it is a thousand li in dimension.” Интересно, какое точное значение слова было в источнике? Только вот неправда это, можно и накопить: кривые Пеано заполняют плоскость (см. тж. http://fregimus.livejournal.com/50493.html). Хуэю Ши понравилось бы.
(no subject) - mingqi - Apr. 4th, 2011 12:20 am (UTC) - Expand
(no subject) - mingqi - Apr. 4th, 2011 12:23 am (UTC) - Expand
arno1251
Apr. 3rd, 2011 03:09 pm (UTC)
+++ Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной. +++
мне как-то не хватает тут "на плоскости"
nenavistnik
Apr. 3rd, 2011 05:57 pm (UTC)
Ну да. Иначе -- сфера будет.
(no subject) - deni_ok - Apr. 3rd, 2011 06:34 pm (UTC) - Expand
Ни фига себе! - nenavistnik - Apr. 3rd, 2011 09:19 pm (UTC) - Expand
Re: Ни фига себе! - deni_ok - Apr. 3rd, 2011 09:35 pm (UTC) - Expand
Re: Ни фига себе! - nenavistnik - Apr. 3rd, 2011 11:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Apr. 4th, 2011 01:40 am (UTC) - Expand
timur0
Apr. 3rd, 2011 03:34 pm (UTC)
я отучал себя воспринимать окружность как множество точек. мало того, что мехмат, так и в школе учился по учебнику Колмогорова - там все через "множество точек" было.
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:32 pm (UTC)
И, если отучили, то как теперь воспринимаете окружность? И, если позволите лезть в душу, — зачем старались себя отучать?
(no subject) - timur0 - Apr. 4th, 2011 08:38 am (UTC) - Expand
_winnie
Apr. 3rd, 2011 03:45 pm (UTC)
Если не принимать идею множеств, которые мощнее чем счетные - то действительно стрёмно представлять линию как состоящей из точек. Если множество-континуум это ok, то без проблем представить себе числовую прямую. Куда ни тки в ней - там какое-нибудь число (десятичная дробь, точна верхняя грань, набор сходящихся последовательностей...). Если взять все десятичные дроби - получится эта числовая прямая.
Ну и я тоже не очень верю в существование действительных чисел, для меня это просто набор предикатов, астракций и утверждений, помещающихся в мозг легче, чем реальное движение. А как начнем смотреть на реальный мир, так всё оказывается из атомов состоит, и что такое "траектория" неясно.
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:36 pm (UTC)
С числовой прямой хуже: куда ни ткни, там и рациональное число найдется (в ε-окрестности, во всяком случае). А этих-то гораздо меньше…

Я верю в существование иррациональных чисел. Но представить их себе тоже не могу.

Реалньый мир — карта и территория. Это понятно, да.
(no subject) - rruben - Apr. 4th, 2011 07:22 am (UTC) - Expand
rruben
Apr. 3rd, 2011 03:55 pm (UTC)
Совсем не математик, но для меня это описание вполне естественно. Наверное потому, что для меня и линия естественным образом состоит из точек, а вопрос составлнения длины из не имеющих измерения отрезков это вопрос приближения
fregimus
Apr. 3rd, 2011 11:37 pm (UTC)
«это вопрос приближения» — то есть там дырочки на самом деле между точками, только все меньше и меньше по мере того, как мы точек насыпаем?
(no subject) - rruben - Apr. 4th, 2011 07:12 am (UTC) - Expand
falcao
Apr. 3rd, 2011 05:17 pm (UTC)
контрабандные понятия
Я учился по "колмогоровской" программе, и теоретико-множественный подход усвоил в самом начале. Мне он и тогда казался самым естественным, и до сих пор таким представляется.

Понятие "геометрического места точек" я впервые встретил классе в седьмом в каком-то старом задачнике. В школе у нас так уже не говорили. Мне пояснили, что это прежняя терминология, и сейчас принято говорить "множество". Я, честно говоря, вообще никакой разницы не вижу -- разве что было такое "контрабандное" понятие, а потом от него благополучно избавились.

Я очень не люблю математическую "архаику", и до какого-то момента мне казалось, что её просто надо без сожалений отбросить. В принципе, я и сейчас придерживаюсь того же мнения, но с определённого момента меня стал интересовать вопрос, как мыслят "другие" люди. В частности, почему их не устраивает то, что вполне устраивает меня. И чего они хотят "сверх" этого.

В Вашем примере я не понял, какую разницу Вы видите. Ведь окружность в обоих случаях описывается совершенно одинаково. Есть свойство точек "находиться на расстоянии R от фиксированной точки O". Оно привлекается независимо от того, говорим ли мы о "множестве" или о "геометрическом месте". Акт "собирания вместе" всех точек с рассматриваемым свойством тоже присутствует там и там. Просто в одном случае он выглядит как совершенно "законный", и все множества чего бы то ни было задаются именно так. В другом случае это делается "нелегально", и в итоге возникает та же самая всем знакомая "фигура". Которую мы якобы "видим".

Соображение насчёт того, что точки "бесконечно малы" по размеру, а потому из них якобы ничего нельзя "собрать", мне кажется непонятным на фоне того, что при таком взгляде на вещи любая линия также имеет бесконечно малую "толщину" и в силу этого тоже "невидима". То есть тут я вижу некоторую непоследовательность, которая вообще свойственна тому типу мышления, от которого я бы предпочёл отказаться. Конечно, какие-то "притирки" тут нужны, чтобы свободно использовать "обыденный" опыт, но они довольно минимальны, и осуществляться всё это должно в самом начале обучения. А то получается так, что кто-то это упускает, а потом начинает на ровном месте чего-то "не понимать".
fregimus
Apr. 4th, 2011 01:59 am (UTC)
Re: контрабандные понятия
В общем-то, ZFC тоже определяет множество через предикат, а не перечисление, снимая различие между локусом и множеством. Я здесь скорее вызываю интуитивное, как мне кажется, для нематематика понятие множества — просто много предметов. Разница существенна для континуума, где все эти интуиции поломаются зверски (не только — и для неперичислимых рекурсивно множеств, но это нематематику чаще всего даже непонятно, что за предмет).

А я вот не могу себе представить иррациональных чисел на числовой оси. Раньше думал, что могу, а оказалось, что нет.
сравнение интуиций - falcao - Apr. 4th, 2011 05:31 pm (UTC) - Expand
Re: сравнение интуиций - (Anonymous) - Apr. 5th, 2011 03:12 pm (UTC) - Expand
оракулы - falcao - Apr. 5th, 2011 03:52 pm (UTC) - Expand
Re: оракулы - f_r_a_c_a_s_s - Apr. 5th, 2011 04:57 pm (UTC) - Expand
Re: сравнение интуиций - (Anonymous) - Apr. 6th, 2011 06:03 pm (UTC) - Expand
Re: сравнение интуиций - dralkin - Apr. 6th, 2011 06:10 pm (UTC) - Expand
гуманизация знания - falcao - Apr. 6th, 2011 08:29 pm (UTC) - Expand
Re: гуманизация знания - dralkin - Apr. 7th, 2011 05:39 pm (UTC) - Expand
фундамент - falcao - Apr. 7th, 2011 06:21 pm (UTC) - Expand
Re: фундамент - dralkin - May. 8th, 2011 11:31 am (UTC) - Expand
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
( 81 comments — Leave a comment )