?

Log in

Previous Entry | Next Entry

(Продолжение. Начало здесь.)

Математика в школе

Нет вернее способа убить энтузиазм детей и их интерес к предмету, чем включив его в обязательную часть школьной программы10. Включите его в ЕГЭ, и вы наверняка увидите, как образовательная бюрократия высосет все его жизненные соки. В отделах образования не понимают, что такое математика — как не понимают этого ни директора школ, ни авторы учебников, ни их издатели, ни — печальнее всего — учителя. Проблема столь велика, что я едва понимаю, с какого конца начать ее излагать.

Начнем с поражения множества реформ математического образования. Уже долгие годы все большее внимание уделяется разладу в системе математического образования. Оплачиваются исследования, собираются конференции, формируются бессчетные комитеты учителей, авторов и издателей учебников, чтобы «исправить ситуацию». Не упустив ни капли собственной издательской выгоды (на любые флуктуации политики обучения они отвечают предложением новых редакций своих нечитабельных уродищ), все эти реформаторы упустили главное: математическая программа должна быть не исправлена — она должна быть выброшена вон.

Вся эта болтовня и показуха касательно того, какие «пункты программы» и в каком порядке следует учить, использовать эту нотацию вместо той нотации, какой модели калькулятор, Господи прости, нужен школьнику, — все это напоминает перестановку стульев на палубе тонущего «Титаника». Математика есть музыка разума. Заниматься математикой — значит совершать открытия и строить предположения; жить вдохновением и интуицией; значит оказываться в отчаянии — не потому, что предмет не имеет смысла, а потому, что вы придали ему смысл и все еще не понимаете, как ведет себя ваше создание; значит испытать и прорыв фонтана идей, и поражение художника; и в ужасе неметь от почти что физически невыносимого, переполняющего вас чувства прекрасного; да значит быть живым, черт побери! Уберите это из математики, и можете собирать сколько угодно умных конференций, и это ничего не изменит. Оперируйте, сколько хотите, дорогие доктора: пациент уже мертв.

Наипечальнейшая часть этих реформ — попытки «сделать математику интересной» и «важной в жизни детей». Вам не надо делать математику интересной — она уже более интересна, чем вы сможете вынести! И торжество ее в неважности для жизни — вот почему она так занимательна.

Попытки изобразить математику полезной и нужной для ежедневных дел всегда натужны и убоги: «Видите, дети, как просто, когда знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей на два года больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!» — как будто кто-то в жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра — не инструмент для жизни, это искусство симметрии и чисел, и потому достойно постижения само по себе.

Даны сумма и разность двух чисел. Каковы сами числа?

Вот простой, элегантный вопрос, и не надо лезть из кожи вон, чтобы придать ему привлекательности. Древние вавилоняне любили решать такие задачи, и наши ученики их тоже любят. (Да и вам, надеюсь, понравится!) Нам не надо заворачиваться в тройные узлы, чтобы придать математике важность для ежедневных дел. Ее важность, как и важность искусства вообще — в осмыслении человеческого опыта.

Или, может быть, вы думаете, что дети хотят чего-то, относящегося к их ежедневным делам? Может быть, их восхищает что-то практическое, например, сложный процент по кредиту? Людей восхищает фантазия, и это именно то, что математика может дать — убежище от ежедневного, волшебный бальзам от практических забот.

Другая проблема — когда авторы учебников начинают «сюсюкать», чтобы сделать математику «дружественной» и победить «страх перед математикой» (одна из множества болезней, на самом деле вызываемых школой). Чтобы ученики могли запомнить формулы, вы можете придумать целую историю о том, как Иван Демьянович едет на машине вокруг Елизаветы Макаровны и говорит ей, как хороши были ее два пирога (L=2πR), или что ее пироги квадратные (SR²), или еще какую-нибудь глупость. А как же настоящий рассказ о проблеме измерения кривых, о Евдоксе11 и Архимеде и методе неделимых, о трансцендентности числа π? Что интереснее — измерять приблизительный размер кружка по клеточкам, а потом вычислять длину окружности по формуле, которую вам дали без объяснения, или услышать историю одной из самых прекрасных, захватывающих задач, и самых ярких и сильных идей всей человеческой истории? Мы убиваем в детях интерес к кругам, в конце концов!

Почему мы не даем ученикам услышать об этом, не то чтобы дать им возможность самим позаниматься математикой, прийти к собственным идеям и мнениям? Какой еще предмет изучают, даже не упоминая его истории, философии, основоположения, эстетических критериев и текущего положения вещей? Какой еще предмет отбрасывает первоисточники — чудесных произведений искусства, выполненных самыми творческими умами истории — в пользу убогих третьесортных учебников?

Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдается за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как ее решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1—15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.

Но задача — настоящий, честный до мозга костей естественный человеческий вопрос — это нечто другое. Какова длина диагонали куба? Закончатся ли простые числа? Бесконечность — число или нет? Сколькими способами можно симметрично покрыть поверхность плитками? История математики — это история решения этих вопросов, не бессмысленного пережевывания формул и алгоритмов, вместе с натянутыми упражнениями, чтобы их применять.

Хорошая задача — такая, решения которой вы не знаете. Вот где загадка, вот что дает настоящие возможности! Хорошая задача не стоит в отдельности, но служит стартовой площадкой для других интересных задач. Треугольник занимает половину описанного прямоугольника. А как насчет пирамиды в кубе? Можно ли эту задачу решить тем же способом?

Я принимаю идею обучения школьников технике решения, и я сам это делаю. Но это не цель. Техника в математике, как и в любом искусстве, должна изучаться в контексте. Великие задачи, их история, творческий процесс — вот этот контекст. Дайте ученикам хорошую задачу, пусть они поломают головы, пусть у них не получится ее решить. Посмотрите, что у них выйдет. Дождитесь до того момента, когда они страстно захотят свежую идею. Тогда научите их какой-то технике, только немного.

Отложите в сторону планы уроков и диапроекторы, мерзкие красочные учебники, компакт-диски и весь остальной парад уродов бродячего цирка, и займитесь с учениками математикой! Учителя живописи не тратят время на чтение учебников и зазубривание техники — они просто дают детям рисовать. Они ходят от мольберта к мольберту и подсказывают, направляют:

— Я думала о задаче с треугольником, и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!

— Превосходное наблюдение! Наше рассуждение с рассечением треугольника было в предположении, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.

— Попытаться рассечь его как-то иначе?

— Конечно. Перепробуй всевозможные идеи. Дай мне знать, что у тебя выйдет!

* * *

Как же нам учить детей математике? Выбирая занимательные и естественные задачи, в соответствии с их вкусами, интересами и опытом. Давая им время делать открытия и строить гипотезы. Помогая им выстраивать доказательства и создавая атмосферу здорового и живого математического критицизма. Улавливая, куда меняется их интерес. В общем, выстраивая честные и открытые интеллектуальные отношения с учениками. Это требует слишком большой ответственности и слишком большой открытости — короче, это слишком много работы!

Гораздо проще быть пассивным передатчиком готовых школьных «материалов» и следовать инструкции, как на бутылке шампуня — «лекция, экзамен, повторить» — чем глубоко мыслить о собственном предмете и передавать этот смысл честно и наилучшим образом своим ученикам. Нас просто уговаривают забросить сложную задачу принятия решений своим умом и совестью, и вместо этого «проходить программу». Это попросту путь наименьшего сопротивления:

Авторы учебников имеют такое же отношение к учителям, как:
а) фармацевтические компании к докторам;
б) компании звукозаписи к диск-жокеям;
в) корпорации к депутатам;
г) все вышеперечисленное.

Труд математики, как и живописи и поэзии, состоит в тяжелой творческой работе. Поэтому математику очень сложно преподавать. Математика — медленный созерцательный процесс. Изготовить произведение искусства занимает время, а, чтобы распознать его, нужен искусный учитель. Разумеется, легче вывесить список правил, чем вести за собой будущих художников, как легче написать инструкцию к телевизору, чем книгу с изложением своей точки зрения.

Математика — искусство, а искусство должно преподаваться действующими мастерами или по крайней мере педагогами, любящими искусство и способными его распознать. Не обязательно учиться музыке у профессионального композитора, но отдадите ли вы ребенка в обучение кому-то, кто не умеет играть сам и не слышал ни одного музыкального произведения за всю жизнь? Возьмете ли вы учителем рисования того, кто не держал в руке карандаша и никогда не был в музее? Как же тогда мы допускаем в учителя математики того, кто не создал ни одного математического произведения, не знает ни истории, ни философии предмета, ни последних достижений математики, ничего, в конце концов, из того, что он должен преподавать своим несчастным ученикам? Что же это за учитель? Как они могут учить то, чего сами не знают? Я не умею танцевать, но мне и в голову не придет, будто я могу вести танцевальный класс (хоть я мог бы и попробовать, но это выглядело бы ужасно). Разница в том, что я знаю, что я не умею танцевать. Мне никто не скажет, что я хорошо танцую, даже если я знаю кучу танцевальных терминов.

Я не пытаюсь даже сказать, что учителя математики должны быть профессиональными математиками — нет, я и не подхожу к этому. Но не должны ли они хотя бы понимать, что такое математика, знать ее, и любить?

Если учеба превращается в простую передачу информации, если в ней нет делимого с учеником восхищения и чуда, если учителя суть пассивные получатели информации, а не творцы новых идей — есть ли тогда надежда у наших школьников? Если сложение дробей для учителя является случайным набором правил, а не результатом творчества или результатом эстетически обоснованного выбора, тогда несомненно надежды у бедных учеников и быть не может.

Преподавание это не передача информации. Преподавание — это честные интеллектуальные отношения с учениками. Для этого не нужны ни методы, ни пособия , ни специальная подготовка. Для этого нужно только быть самим собой. Если вы не можете быть собой, то у вас нет никакого права причинять себя ни в чем неповинным детям.

В частности, вы не можете учить учить. Педагогические курсы — полная бессмыслица. Да, вы можете пройти курсы по раннему детскому развитию и еще чему-нибудь, обучиться «использовать доску эффективно», готовить организованный «план урока» (что, кстати, обеспечивает вашему уроку плановость, следовательно, лживость), но вы никогда не станете учителем, если не будете настоящим человеком. Преподавание — это открытость и честность, желание делиться радостью знания, любовь к учению. Без этого все педагогические дипломы мира не помогут вам — они совершенно бесполезны.

Это так просто. Ученики не пришельцы с Альфы Центавра. Они понимают прекрасное, они видят узор, они от природы любопытны, как и все мы. Просто расскажите им! И — еще важнее — слушайте их!

* * *

Симплицио. Ну ладно, мне ясно, что в математике есть элемент искусства и что мы могли бы лучше это объяснять. Но ведь это, наверное, слишком заумная штука, чтобы ожидать ее от школы? Мы же не философов там учим, нам же надо, чтобы они арифметику знали до той степени, чтобы нормально вписаться в общество.

Сальвиати. Это не так! Школьная математика занимается множеством вещей, не связанных с возможностью вписаться в общество — например, алгеброй и тригонометрией. Эти дисциплины совершенно бесполезны для ежедневных дел. Я просто предлагаю вот что: раз мы включаем эти вещи в план среднего образования, так уж делать это органично и естественно. К тому же, как я уже говорил, то, что из предмета можно получить практическую пользу, еще не говорит о том, чтобы на этой пользе обучение фокусировать. Конечно, следует научиться читать, чтобы заполнить бланк на почте, но ведь мы не для этого детей учим чтению. Мы учим их чтению для высшей цели — дать им доступ к прекрасным и значительным идеям. Не только было бы бесполезно учить третьеклассников писать, давая им заполнять бланки налоговых деклараций — это бы и не работало! Мы учимся, потому что нам интересно то, чему мы учимся, здесь и сейчас, не потому, что это будет полезно в дальнейшем. А ведь с математикой мы именно так и поступаем.

Симплицио. Но разве третьеклассники не должны знать арифметики?

Сальвиати. Зачем? Ты хочешь научить их складывать 427 и 389? Это не из тех вопросов, что спрашивают восьмилетки. Да не все взрослые полностью понимают десятичную позиционную арифметику, а ты хочешь, чтобы у третьеклассников была полная ясность? Или тебе все равно, поймут они это или нет? Слишком рано это для такого механического обучения. Конечно, их можно научить, но, думаю, от этого вреда выйдет больше, чем пользы. Лучше дождаться, пока у них не появится естественный интерес к числам.

Симплицио. Так чем же дети должны заниматься на уроках математики?

Сальвиати. Играть! Научите их играть в шахматы и го, гекс и нарды, «ростки» и ним12, да чему угодно — выдумайте игру! Отгадывайте загадки. Создавайте для них ситуации, где необходимо дедуктивное мышление. Не думайте о нотации и технике, а помогайте их активному и творческому математическому мышлению.

Симплицио. Похоже, мы возьмем этим на себя слишком большой риск. Что же, нам не учить школьников арифметике — ведь они не будут уметь складывать и вычитать!

Сальвиати. Полагаю, что мы куда больше рискуем создать школу, лишенную творческого выражения, где функции ученика будут запоминать даты, формулы и списки слов, а затем выплевывать их на стандартных экзаменах, готовясь стать «строителем светлого будущего».

Симплицио. Но послушай, ведь должен быть какой-то минимум математических фактов, которые должен знать любой образованный человек!

Сальвиати. Да, и самый главный из этих фактов — то, что математикой люди занимаются для собственного удовольствия! Согласен, неплохо знать некоторые основные факты о числах и геометрических фигурах. Но это не придет от зубрежки, повторений, лекций и упражнений. Ты можешь конечно, заучить их. Мы видим миллионы взрослых людей, повторяющих «минус b плюс-минус корень из b в квадрате минус 4ac, деленное на 2a», и все это без малейшего понятия, что это значит. А причина в том, что им так и не дали возможности открыть или изобрести что-то самим. Они никогда не решали увлекательной задачи, не бились над ней, не искали способ решения. Им никто не рассказал об истории отношений человека и чисел — ни о вавилонских табличках с задачами, ни о папирусе Ахмеса, ни о Liber abaci, ни об Ars magna13. И — самое главное — у них не было возможности задаться вопросом, ибо на все их вопросы были даны ответы еще до того, как они их могли задать.

Симплицио. Но у нас нет столько времени, чтобы каждый ученик изобрел себе математику! У человечества ушли века на теорему Пифагора — как же ты хочешь, чтобы обычный школьник ее сам открыл?

Сальвиати. Я этого не хочу. Позволь мне ясно сказать: я сожалею о полном отсутствии в математической программе искусства и открытия, истории и философии, контекста и перспективы. Я не хочу сказать, что нотация, техника и накопление знаний не нужны. Нужны, конечно. У нас должно быть и то, и это. Если я возражаю против того, что маятник слишком далеко отклонился в одну сторону, это не значит, что я за то, чтобы он отклонился до конца в другую. Люди на самом деле лучше учатся, когда результат получается из процесса. Настоящая любовь к стихам приходит не от запоминания сотен поэм, а от написания собственных стихов.

Симплицио. Да, но прежде, чем писать стихи, ты должен выучить алфавит! Должно же все с чего-то начинаться. Сначала учатся ходить, потом — бегать.

Сальвиати. Да нет же, сначала тебе нужно знать, куда бежать. Дети учатся писать стихи и рассказы и одновременно письму и чтению. Рассказ шестилетнего — это чудесно, и орфографические и стилистические ошибки нисколько не умаляют этого чуда. Даже самые маленькие дети сочиняют песенки, хотя и не знают, в каком они размере и в какой тональности.

Симплицио. Но разве математика не отличается от музыки? Разве математика — не система символов, язык сам по себе, который надо выучить прежде, чем говорить на нем?

Сальвиати. Нет, это совершенно не так. Математика — не язык, а приключение. Разве музыканты «говорят на другом языке», сокращая свои идеи до маленьких черных нот? Если бы и так — это все равно не мешает карапузу и его песенке. Да, определенная система математической записи образовалась за века, но она не является самоважной. Математика частенько делается с друзьями за чашкой кофе на салфетках. Математика — это идеи, а идеи превосходят символы, которыми они записываются. Гаусс однажды заметил: «Нам нужны идеи, а не идиомы!»

Симплицио. Но разве не верно сказать, что одна из целей математического образования научить школьников думать логически точно, выработать «навыки математического мышления», как пишут в программе? Разве формулы и правила не оттачивают ума учеников?

Сальвиати. Нет, не «оттачивают». Если хочешь, система дает прямо противоположный эффект: она отупляет. Острота ума причиняется решением задач, а не заучиванием того, как это следует делать.

Симплицио. Ладно, согласен. А как быть с учениками, что идут в науку и в инженеры? Разве им не нужно обучение по стандартной программе? Не для того ли мы преподаем математику в школе?

Сальвиати. Много ли учеников станут писателями после уроков литературы? Мы учим литературе не для этого. Мы учим, чтобы просвещать, а не давать профтехобразование! Ведь самое важное умение и ученого, и инженера — умение мыслить творчески и независимо. А кому нужна эта дрессировка?!

Математическая программа

Состояние преподавания математике в школе так печально не только и не столько тем, что важное отсутствует — что на уроках математики не происходит математики, — но тем, что там присутствует: мешанина деструктивной дезинформации, называемая «программой». Давайте посмотрим, что противостоит нашим ученикам во имя математики, и какой это им наносит ущерб.

Самое удивительное в этой программе — это ее негибкость. Это особенно заметно по программе старших классов. От школы к школе, от города к городу, от штата к штату повторяются одни и те темы, о них рассказывается одинаково и в одном и том же порядке. Вместо того, чтобы возмутиться этим Оруэлловским положением вещей, большинство людей просто принимают эту «стандартную программу» за самое математику.

Это тесно связано с тем, что я называю «мифом о лестнице» — идеей о том, что математику можно выстроить в последовательность «предметов», каждый из которых более «высокий», поднимающуюся до «высшей математики». Эта идея порождает гонку: некоторые ученики впереди, чьи-то родители переживают, что их ребенок «отстающий». И где финишная черта этой гонки, что ждет на ней? Печально, но гонка эта в никуда. В конце — вас обманут на ровно одно математическое образование, да еще так, что вы этого не заметите.

Настоящая математика не выпускается в консервах — в математике нет такой идеи, как алгебра за 9-й класс. Задачи ведут вас, куда ведут. Искусство — не гонка. Миф о лестнице это искаженный образ предмета математики, а учитель, следующий стандартной программе, лишь закрепляет этот миф, вместо того, чтобы показывать математику как нечто цельное. А в результате у нас получается математическая программа без исторической перспективы и тематической цельности, фрагментарный набор разнообразных тем и приемов, выстроенных в порядке легкости, с которой их можно свести к пошаговым инструкциям.

Вместо открытия и исследования у нас получаются правила и инструкции. Мы никогда не слышим, чтобы ученик говорил: «Мне захотелось узнать, есть ли смысл в возведении числа в отрицательную степень, и я обнаружил, что получится вполне осмысленно, если представить ее в виде обратного числа». Вместо того, учитель и учебники дают «правило отрицательной степени» как fait d’accompli без упоминания эстетики этого выбора или хотя бы того, что выбор был.

Вместо осмысленных задач, какие могли бы привести через неисследованную территорию обсуждения и спора к синтезу разнообразных идей, к чувству тематического единства и гармонии в математике, мы имеем столь безрадостные повторяющиеся упражнения на определенную технику, разъединенные друг с другом и отсоединенные от математики как целого, что ни у учителей, ни у учеников не возникает даже тени идеи, как такие вещи могли вообще сложиться.

Вместо естественного контекста задачи, где ученики могли бы сами выбрать слова для обозначения сущностей, выдается бесконечная череда немотивированных априорных «определений». Программа навязывает жаргон и классификацию ни для какой более цели, кроме возможности учителям проверять этот же жаргон на экзаменах. Ни один математик в мире не станет противопоставлять «смешанную дробь» 2 ½ «неправильной дроби» 5/2. Да они же равны, ради всего святого! Это одно и то же число, их свойства одинаковы. Да кто хотя бы помнит эти слова после четвертого класса?

Куда легче, конечно, проверять знание бесцельных терминов, чем вдохновлять на создание прекрасного и поиск своего собственного смысла. Даже если мы и согласимся, что базовый математический вокабуляр необходим, — это не он. Пятиклассников учат говорить «ось абсцисс» и «ось ординат» вместо «осей x и y», но не дают им повода сказать такие слова, как «предположение» или «контрпример». Старшеклассников учат писать sec x, секанс, вместо обратной функции 1/cos x — «определению», обладающему такой же интеллектуальной силой, как сокращение «и т. п.». Это сокращение вышло из навигационных таблиц XV в. и по-прежнему остается в ходу (в то время как, например, версинус вышел из употребления) в наше время, когда точные навигационные вычисления более не проблема, по чистой исторической случайности. Так уроки математики забиваются бесполезной терминологией во имя терминологии.

Программа не столько последовательность тем или идей, сколько череда систем нотации. Математика как будто состоит из секретного списка математических символов и правил манипуляции ими. Малышам дают + и ÷. Более взрослым можно уже доверить √, а потом x и y и алхимию скобок. Затем им забивают в головы sin, log и f(x), а потом удостаивают d и ∫. И все это происходит, разумеется, без математически осмысленного опыта.

Эта программа настолько недвижима, что учителя и авторы учебников могут надежно, за многие годы, предсказать, что ученики будут делать, с точностью до номера страницы с упражнениями. Не вызывает удивления, когда в 9 классе задают вычисление [f(h) − f(x)] / h для различных функций f, так чтобы они «уже видели» это выражение, когда у них будут начала анализа три года спустя. Естественно, не дается (да и не ожидается) никакой мотивации пониманию, что означает эта на первый взгляд случайная комбинация операторов. Учителя, пытающиеся объяснить, что это означает, и — уверен! — полагающие, что оказывают школьникам услугу, на самом деле просто дают им еще одно скучное упражнение. «Чего от меня хотят? А, и это до кучи? Угу».

Еще один пример — когда школьников учат выражать информацию в неоправданно сложной и неестественной форме просто потому, что когда-то, в далеком будущем, это будет иметь смысл. Задумывается ли хоть на секунду учитель 6-го класса, заставляя учеников записать утверждение «x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 5| < 2, зачем он это делает? Авторы бестолковых учебников серьезно полагают, что этим помогают ученикам подготовиться ко дню «Ч», когда много лет спустя они начнут изучать аналитическую геометрию или абстрактные метрические пространства? Сомневаюсь. Думаю, что просто копируя друг друга десятилетиями, меняя, самое большее, шрифт или цвет под выделенным текстом, они лучатся гордостью оттого, что школьная система приняла их новый учебник, и тем самым делаются ее невольными сообщниками.

Математика — это решение задач, и именно решение задач должно быть в центре математической жизни школьника. Как бы ни было тяжело, какие бы ни случались неудачи — ученики и учителя должны быть вместе на этом пути — находя идеи, не находя идей, открывая закономерности, строя предположения, конструируя примеры и контрпримеры, приводя аргументы и критикуя работу друг друга. Определенная техника образуется в процессе этой работы, как это происходило исторически: не в изоляции от решения задач, но в органическом соединении с этим процессом.

Преподаватели родного языка знают, что орфография и пунктуация лучше всего изучаются в процессе чтения и письма. Учителя истории знают, что имена и даты совершенно неинтересны в отрыве от картины исторических событий. Отчего же математическое обучение застряло в XIX в.? Сравните ваши воспоминания об уроке алгебры с этим воспоминанием Бертрана Рассела14:

Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.

Разве изменилось что-нибудь с тех пор?

* * *

Симплицио. Не думаю, что так будет честно. Конечно, методы обучения изменились!

Сальвиати. Ты имеешь в виду методы тренировки. Учение — непростые человеческие отношения; метода здесь быть не может. Или, давай я так скажу: если тебе нужен метод, значит, ты не очень хороший учитель. Если у тебя нет достаточно «чувства» своего предмета, чтобы говорить о нем своими словами, естественно и спонтанно, значит, ты и сам его не понимаешь. И, говоря о том, что учительство застряло в девятнадцатом веке — тебя не пугает, что программа при этом застряла в семнадцатом? Подумай обо всех тех потрясающих открытиях и глубоких переворотах в человеческой мысли, что произошли за последние три века! Они не упоминаются, словно бы их и не было.

Симплицио. Может, ты просто слишком многого хочешь от учителей математики? Чтобы они оказывали индивидуальное внимание трем десяткам учеников, ведя их по их собственным путям открытий и просвещения, да еще чтобы они следили за последними математическими открытиями?

Сальвиати. А ты хочешь, чтобы учитель рисования мог дать тебе толковый совет по поводу твоей картины, чтобы он знал историю последних трехсот лет живописи? А серьезно — нет, я и не жду этого, просто мечтаю о том, чтобы так было.

Симплицио. Значит, виноваты учителя математики?

Сальвиати. Нет, виновата культура, которая их производит. Они стараются как лучше, но делают так, как их учили. Уверен, многие из них любят учеников, и им не нравится подвергать их тому, что им приходится делать. Они ощущают, что такое преподавание бессмысленно, и только вредит. Они чувствуют, что делаются шестеренками в мясорубке духа. Однако, у них не хватает перспективы, чтобы осознать это, тем более бороться с этим. Они должны «готовить учащихся к переходу в следующий класс».

Симплицио. Ты и вправду думаешь, что все ученики имеют столь высокий уровень, чтобы создавать собственную математику?

Сальвиати. Если мы и в самом деле думаем, что творческое мышление — это слишком «высокий уровень» для наших учеников, зачем тогда мы заставляем их писать работы по истории и литературе? Проблема не в том, что школьники не могут того, что ты говоришь, — проблема в том, что учителя этого не могут! Они никогда не доказывали ничего сами — как же они могут направить на правильный путь ученика? Как бы там ни было, очевидно, что разброс в способностях школьников будет, но, по крайней мере, они смогут любить или ненавидеть математику такой, какая она есть, а не эту кустарную под нее подделку!

Симплицио. Но ведь мы точно хотим, чтобы ученики обладали определенным набором базовых знаний и умений. Вит для чего нужна программа, и вот почему он единообразна: существует некий набор основных фактов, одинаково необходимый всем и во все времена. 1 + 1 = 2, сумма углов треугольника равна 180°. Это не мнения и не художественные оценки.

Сальвиати. Напротив. Математические структуры, и практически полезные, и нет, возникают в контексте задач, и получают смысл только из этого контекста. Иногда мы хотим, чтобы 1 + 1 равнялось нулю — в арифметике по модулю 2. Сумма углов треугольника на сфере больше 180°. Это не факты сами по себе — все здесь относительно. Важна повесть, а не развязка сюжета.

Симплицио. Я уже устал от твоей мистической болтовни! Скажи мне, вот базовая арифметика — ты согласен или не согласен с моим мнением, что ученики должны ее знать?

Сальвиати. Смотря что ты называешь «базовой арифметикой». Если ты называешь ею понимание задач счета и разбиения, преимущества группировки и поименования, различение представления и вещи в мире, историю развития счетных систем — да, я считаю, что школьники должны это изучать. Если же ты называешь ею заучивание арифметических фактов вне базовой системы концепций — нет. Исследование вовсе не очевидного факта, что пять кучек по семь это столько же, сколько семы кучек по пять — да. Заучивание правила, что 5 × 7 = 7 × 5 — нет. Занятие математикой — это всегда открытие закономерностей и создание красивых и осмысленных объяснений.

Симплицио. Ладно, а геометрия? Школьники все время доказывают геометрические теоремы. Разве, по-твоему, уроки геометрии в старших классах — не образец того, какими должны быть уроки математики?

(Окончание.)

_____________________________________

10. В старших классах американской школы часть предметов обязательна, а остальные выбираются учащимися из списка, обычно по интересам и будущей специальности.

11. Евдокс Книдский (Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, Eudoxus of Cnydus, 408—355 до н. э.) — древнегреческий философ, астроном и геометр, ученик Платона. Разработал метод исчерпывания для вычисления длины кривой.

12. «Ростки» (англ. Sprouts) — игра для двух противников, изобретенная Дж. Конвеем, математиком, придумавшим также знаменитый клеточный автомат «Жизнь». Гекс (англ. hex), го (англ. go), ним (англ. nim) — настольные игры. Перечисленные игры интересны (кроме, разумеется, собственно игры) их математическим исследованием.

13. Папирус Ахмеса (папирус Ринда, англ. Rhind papyrus) — древнеегипетский папирус с формулировкой математических задач, являющийся копией еще более древнего текста, написанного при Аменемхете III, т.е. ок, 1850 г. до н. э. Liber abaci (с лат. «Книга абака») — главный труд жизни Леонардо Фибоначчи (1202 г.). Ars magna (с лат. «Высокое искусство») — замечательный алгебраический трактат Джироламо Кардано (1545 г.).

14. Бертран Рассел (Bertrand Russell, 1872—1970) — английский философ, логик и математик.

Comments

( 74 comments — Leave a comment )
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
arno1251
Oct. 2nd, 2008 08:05 am (UTC)
Роскошный текст; но, как мне кажется, все эти рассуждения касаются детей, искренне заинтересованных в математике. Такие есть: я, например, блаженствовал при решении математических задач, сколько себя помню. Но не все дети таковы. У меня средняя дочь, например, со скоростью звука решает лингвистические задачи и за полчаса заучивает наизусть страницу незнакомого текста на французском языке. Но как только я пытаюсь ей рассказать про разложение векторов и изменение системы координат, так она немедленно засыпает. Примерно так же, признаюсь, на меня действуют передачи телеканала "Культура" о балете.
Наверное, что-то есть внутри нас, на уровне синапсов и полушарий, "что заставляет выбирать нас дороги"(с).
aamonster
Oct. 2nd, 2008 08:17 am (UTC)
Угу. Но наверняка можно найти тот маленький кусочек математики, который можно изложить интересно для нее - пусть даже вы и не можете этого сделать в силу разницы восприятия. И ведь нормальному человеку математики нужно совсем немного - наверняка этот кусочек можно рассказать увлекательно. В результате и не-математики усвоят то, что им пригодится, и потенциальных любителей математики зацепит - и они узнают куда больше, задавая вопросы.
(no subject) - arno1251 - Oct. 2nd, 2008 08:22 am (UTC) - Expand
(no subject) - aamonster - Oct. 2nd, 2008 08:41 am (UTC) - Expand
(no subject) - arno1251 - Oct. 2nd, 2008 08:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 2nd, 2008 08:58 am (UTC) - Expand
Вечный Зыф - arno1251 - Oct. 2nd, 2008 10:02 am (UTC) - Expand
Re: Вечный Зыф - fregimus - Oct. 3rd, 2008 01:20 am (UTC) - Expand
(no subject) - paraxboct - Feb. 11th, 2009 05:54 pm (UTC) - Expand
aamonster
Oct. 2nd, 2008 08:13 am (UTC)
Читаю. Возникает ощущение, что так, как по словам автора преподают математику, в мое время преподавали русский язык и литературу. А вот с математикой мне повезло куда больше.
ijona_tihaja
Oct. 2nd, 2008 08:29 am (UTC)
Вы абсолютно правы! Это касается и других школьных предметах. О литературе и русском я могла бы написать примерно такой же текст.

Жалко, что математику не преподают так, как вы описывали. Пафос "а как же ты будешь считать сдачу в магазине" никогда меня особенно не вдохновлял.
fregimus
Oct. 2nd, 2008 09:01 am (UTC)
Это не я, это Локхард. Я только перевожу.
ijona_tihaja
Oct. 2nd, 2008 08:35 am (UTC)
Кстати да, геометрия мне в школе очень нравилась - именно потому что там были доказательства. Доказывать приятно и интересно.
aamonster
Oct. 2nd, 2008 08:43 am (UTC)
Угу. Самый кайф - доказывать, не зная, что именно доказываем. Я так в студенческие годы какую-то теорему на коллоквиуме по ФАНу доказал - ну не учил я ее, и формулировку забыл... кое-какие детали подсказали, начал из них строить доказательство - от него и к формулировке пришел =)
(no subject) - sychuanka - Sep. 4th, 2013 12:16 pm (UTC) - Expand
oaristes
Oct. 2nd, 2008 10:28 am (UTC)
Симплицио: ожидать ее од школы?
Куда легче, конечно, проверять знание бесцельных терминов, чем вдохновлять их на создание прекрасного и поиск своего собственного смысла.
их - детей :)

Спасибо, интересно и приятно. Почти все применимо и к школьному изучению литературы...
fregimus
Oct. 3rd, 2008 08:24 am (UTC)
Поправил, спасибо.

Школьная литература — тоже песня. Если бы не родители и их библиотека, думаю, что за 10 лет от послешкольного отвращения к литературе я бы не отошел. Хоть меня и тошнило при слове «классика», но прошло это — относительно — быстро. А многие так и не оклемались…
timur0
Oct. 2nd, 2008 11:05 am (UTC)
Пара ошибок (опечаток, полагаю):

1. — Я думала о задаче с треугольником, и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!
— Превосходное наблюдение! Наше рассуждение с рассечением треугольника было в предположении, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.


Полагаю, все же параллелограмм - как такое может быть в прямоугольнике?

2. Сумма углов треугольника на сфере меньше 180°.

Больше.

А вообще по пафосу статьи. Вещи говорит верные, но как-то оно... Мне, конечно, повезло - обучение математике в школе никак не напоминало описанную картину, но еще меньше оно напоминало то, что он предлагает. Играть в игры - хорошо, я даже слышал о математиках, хорошо играющих в шахматы, но я не слышал о каких-то математических способностях шахматистов. Его предложения утопичны - не идеалистичны, а именно утопичны - потому, что (а) могут работать только с учениками, имеющими склонности к математике (по сути, он скорее примет понимание красоты математики некоторыми и абсолютную в ней безграмотность остальных, чем существующее положение) и (б) непонятно, кто так может преподавать математику; на это способны единицы-энтузиасты, к которым Локхарт, без сомнения, принадлежит, но это не транслируемое и не масштабируемое умение. То есть его предложения не вписываемы в существующий контекст. Хотя по смыслу - но мы ведь знаем, к чему приводят попытки построить утопию.
marina_p
Oct. 2nd, 2008 02:12 pm (UTC)
"Полагаю, все же параллелограмм - как такое может быть в прямоугольнике?"

Я думаю, что тут ошибка в картинке -- вероятно, основание треугольника должно совпадать с основанием прямоугольника, а вершина вылезать наружу.
(no subject) - timur0 - Oct. 2nd, 2008 02:25 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 2nd, 2008 10:03 pm (UTC) - Expand
(no subject) - marina_p - Oct. 3rd, 2008 01:43 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 3rd, 2008 02:34 am (UTC) - Expand
(no subject) - marina_p - Oct. 3rd, 2008 02:40 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 3rd, 2008 01:30 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 3rd, 2008 11:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 3rd, 2008 10:23 pm (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 4th, 2008 05:17 pm (UTC) - Expand
nil_0
Oct. 2nd, 2008 11:16 am (UTC)
"Сумма углов треугольника на сфере меньше 180°"

На сфере больше 180, а меньше 180 на плоскости Лобачевского.
fregimus
Oct. 3rd, 2008 01:31 am (UTC)
Спасибо, исправил. Много ошибок, текст еще не вычитан. Прошу прощения.
slobin
Oct. 2nd, 2008 11:38 am (UTC)
Научите их играть в шахматы и го, гекс и нарды, «ростки» и ним

Как-то, во время службы в советской ещё армии, один сослуживец из полублатной среды рассказывал про игру в спички, крайне популярную на зоне. Мне с трудом удалось удалось удержать серьёзное выражение лица, когда я узнал в ней ним. Вот теперь думаю, стоит об этом рассказывать детям, чтобы заинтересовать их математикой? И проходит ли это по графе "в жизни пригодится"?

... Народу нужны здоровые сенсации ...

fregimus
Oct. 3rd, 2008 08:28 am (UTC)
стоит об этом рассказывать детям, чтобы заинтересовать их математикой?
Пожалуй, да. Особенно тем, кто собирается попасть в тюрьму. :-))

И проходит ли это по графе "в жизни пригодится"?
Нет, вряд ли.
(no subject) - sadaya_san - Feb. 23rd, 2010 08:03 am (UTC) - Expand
xeus_top_777
Oct. 2nd, 2008 12:01 pm (UTC)
Ваш пост написан настолько интересно, что вы попали в Топ-30 Зиуса самых обсуждаемых тем в Живом Журнале.
Это очень положительное явление. Пожалуйста, продолжайте в том же духе. © Зиус
dolgostroy
Oct. 2nd, 2008 12:08 pm (UTC)
"Отягощенные злом" АиБ Стругацкие - к вопросу о том кто и как смог бы стать такими учителями о которых мечтает автор..
fregimus
Oct. 3rd, 2008 01:31 am (UTC)
О да!
janatem
Oct. 2nd, 2008 12:29 pm (UTC)
Еггоги
Но ведь это, наверное, слишком заумная штука, чтобы ожидать ее од школы?
Здесь опечатка "од" -> "от", или я совсем не понял что за оды школе.

«x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 2| < 5
Здесь (у автора?) арифметическая ошибка.
timur0
Oct. 2nd, 2008 01:23 pm (UTC)
Re: Еггоги
2 и 5 местами поменялись, так что не ошибка, а опечатка
Re: Еггоги - dolgostroy - Oct. 3rd, 2008 02:04 am (UTC) - Expand
(Anonymous)
Oct. 2nd, 2008 12:51 pm (UTC)
Страдания автора понятны и в целом он прав, математика преподается плохо. И когда я учился, она была такая же скучная, хотя рядом в классе лежал «Квант», а в библиотеке было полно Гарднера. С другой стороны, а что преподается хорошо? Литература? Физика? Химия? История? Ой не знаю, не знаю. Если сравнивать с книгами, написанными увлеченными людьми, большая часть учебников безумно скучны. Сравните, скажем, Моммзена или Ферреро и обыкновенный учебник об истории Рима. Получается, любой предмет преподается так себе. У Monty Python где-то обыгрывается этот момент, там школьникам преподают, надо полагать, «основы половой жизни», с наглядной демонстрацией силами учителей — и какая же тоска на лицах бедных учеников!

Кстати, автор не совсем прав в некоторых посылках — математика вполне себе «естественная» наука, «игры разума» в ней не больше, чем в географии. Впрочем, не он один, конечно, это распространенное заблуждение.
dolgostroy
Oct. 3rd, 2008 02:09 am (UTC)
верно, верно, дружище. Все асболютно преподается отвратительно. И мы всегда в итоге упираемся в вопрос где взять Учителей с большой буквы У. И вот это действительно важный вопрос. Насчет математики как естественной науки - и соглашусь и нет. Не соглашусь в том смысле, что вы плохо, видимо, восприняли текст. А соглашусь в том, что география преподается так же скучно как и все остальное.
(no subject) - a_konst - Oct. 5th, 2008 02:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - dvoishnic - Dec. 14th, 2008 06:49 pm (UTC) - Expand
(no subject) - a_konst - Dec. 14th, 2008 06:55 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Dec. 14th, 2008 07:00 pm (UTC) - Expand
(no subject) - dvoishnic - Dec. 15th, 2008 07:51 am (UTC) - Expand
marina_p
Oct. 2nd, 2008 02:08 pm (UTC)
Спасибо за перевод!

Поправки (то, что бросилось в глаза):

"заставляя учеников записать утверждение «x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 2| < 5"

-- наоборот, |x – 5| < 2.

"Сумма углов треугольника на сфере меньше 180°"

-- не меньше, а больше.
fregimus
Oct. 3rd, 2008 08:29 am (UTC)
Исправил, спасибо.
(Deleted comment)
fregimus
Oct. 3rd, 2008 08:30 am (UTC)
Правильно, так и надо. В любой естественной науке происходит решение задач, так или иначе.
(no subject) - ffsaschagff - Oct. 2nd, 2008 03:49 pm (UTC) - Expand
fregimus
Oct. 3rd, 2008 01:41 am (UTC)
Про фанатизм я вот тут выше ответил, где об утопии. Я думаю, есть «хороший» фанатизм и «плохой». Клеймо вешается на «плохой» post factum.
(no subject) - ext_83647 - Oct. 3rd, 2008 02:27 am (UTC) - Expand
zakfor
Oct. 2nd, 2008 04:26 pm (UTC)
Занятно...
несомненно добавлю в избранное и буду ждать окончания!
savin_e
Oct. 2nd, 2008 06:18 pm (UTC)
Интересно. Во-многом напоминает рассуждения Макса Вертгеймера в "Продуктивном мышлении". Как-то все крутится вокруг одного и того же столько лет, а в преподавании ничего не меняется.
ext_83647
Oct. 3rd, 2008 02:30 am (UTC)
а вот для этого надо чтобы как много больше людей этим озаботились.
localghost
Oct. 2nd, 2008 10:38 pm (UTC)
Спасибо, жду окончания
Еще одна не замеченная пока ошибка:

...не сведущ в последних достижениях математики, и ничего, в конце концов, из того, что он должен преподавать своим несчастным студентам?
видимо, было "не знает последних достижений, и ничего...", но из-за переформулировки вторая часть осталась без глагола.
fregimus
Oct. 3rd, 2008 08:31 am (UTC)
Re: Спасибо, жду окончания
Спасибо, исправлю.
logpoint
Oct. 3rd, 2008 10:51 am (UTC)
Очень хочется окончания :) Не силен в английском настолько, чтоб получить такое же удовольствие от оригинала. Спасибо вам огромное за перевод! Читается на одном дыхании, язык очень хорош.
fregimus
Oct. 3rd, 2008 11:19 am (UTC)
Постараюсь на этой неделе закончить.
wojzeh
Oct. 3rd, 2008 06:03 pm (UTC)
гут. ждём дальше.

очепятка:

Симплицио. Но ведь мы точно хотим, чтобы ученики обладали определенным набором базовых знаний и умений. Вит (вот?) для чего нужна программа, и вот почему он (она?) единообразна:
fregimus
Oct. 3rd, 2008 10:24 pm (UTC)
Спасибо, поправлю.
captainl
Oct. 4th, 2008 02:06 am (UTC)
Прекрасная статья! Вам тысяча благодарностей за перевод.

Сам порывался несколько раз написать на эту тему, потому что больно видеть, что делает школа с математикой. Мне кажется, что в школе не преподают математику. Не в том смысле, что плохо преподают, а она там практически отсутствует. Очень давно произошла подмена понятий - некоторое количество приложений математики (главным образом вычислительных), необходимых для решения простых бытовых задач, стали называть математикой. Но это все равно, что сказать что вот этот запах, сохранившийся в коробке от шоколадных конфет, и есть шоколад. 999 человек из 1000 на вопрос "Что такое математика?" ответят - "Наука о числах" и будут смущены, услышав следом "А почему геометрию относят к математике?".

Есть и другая беда - замена причины и следствия в популярном тезисе "Не все дети настолько развиты, чтобы понять математику". Но они зачастую именно потому и не развиты, что их лишили математики - не нудных примеров, а настоящей математики - умения моделировать мир и играться с этими моделями.

Мне кажется, однако, что автор чрезмерно сместил акценты в сторону искусства. Конечно, в математике есть искусство, но в той же степени, в которой в сочинении текстов может быть искусство. А может и не быть.

Мелкое замечание - мне кажется, что criticism все же лучше переводить словом "критика".
fregimus
Oct. 4th, 2008 02:52 am (UTC)
Конечно, в математике есть искусство, но в той же степени, в которой в сочинении текстов может быть искусство. А может и не быть.
Это верно. С другой стороны, он удивительно прав в том, что «искусству повара» не отказывается в искусстве. Наша толерантная культура готова уже едва ли не копуляцию в музее признать искусством. Он, кажется, где-то в начале об этом говорил. Я согласен, что, полагая искусством «высокое искусство» (думаю, я с Вами согласен в оценке, что это такое), Вы несомненно правы. Если же взять за критерий искусства то, что общество в целом полагает, прости Господи, искусством — тогда, может, он и в этом окажется прав?

Мелкое замечание - мне кажется, что criticism все же лучше переводить словом "критика".
O! Спасибо, что заметили. У меня еще students кое-где как «студенты» проскакивают. Корректор ведь не заметит.
ryrma
Oct. 5th, 2008 01:25 am (UTC)
Немного здорового и живого критицизма, if you will...

По первой части только несколько смысловых возражений:

1. Конечно, ЕГЭ относится таки к standardized tests, но автор в общем-то имел в виду совсем другую (американскую) систему этих самых тестов, и совсем другие (гораздо более примитивные) тесты. Я понимаю, что можно и претцел переводить как калач, чтоб читателям попонятнее было, но боюсь, что смысл тут довольно сильно искажается.

2. В американской школьной системе успешно законченные факультативные классы углубленного изучения добавляют баллов при поступлении в вуз. - я бы не назвала АР классы "факультативными" (большинство из них - классы по обязательным дисциплинам, просто более высокого уровня). Фраза про "добавление баллов" - несколько misleading, поскольку многие университеты используют unweighted gpa, а на "силу куррикулума" смотрят, так сказать, эмпириццки. Как справедливо выразился сам автор, "nothing looks better on a transcript", т.е. АР классы "красиво выглядят" и вызывают уважение. Можно сказать - помогают при поступлении, но blanket statement насчет добавления неких баллов автоматически - это kinda дезинформация...

3. На Западе науки делятся на естественные (sciences) и гуманитарные (humanities)... A social sciences пошто обидели?


В части второй у меня, наоборот, придирки к языку:

1. Как они могут учить то, чего сами не знают? -- Или "преподавать то...", или "учить тому...". Ну и вообще-то оригинал выглядел как "How can someone teach something that they themselves don’t do?" - я понимаю, что перевод не дословный, но все же смысл, по-моему, сильно изменился от подмены.

2. Если ты называешь ею понимание задач счета и разбиения, преимущества группировки и поименования, различение представления и вещи в мире, историю развития счетных систем — да, я считаю, что школьники должны это изучать.
"...appreciation for the problems of counting and arranging, the advantages of grouping and naming, the distinction between a representation and the thing itself..."

А "поименование" - это что, математический термин? В любом случае, если мы вспомним, что обсуждаемое "it" - это Basic arithmetic, то на мой взгляд - таких ужасных слов не стоит употреблять, когда мы говорим о том, что младшие школьники дают классифицируют предметы или какие-то еще entities - разбивают их по группам и дают им (и/или группам) названия. Representation, мне кажется, здесь не стоит переводить словом "представление" (которое в отсутствие контекста половина читателей, по-моему, поймет как "mental image"). Насколько я понимаю, автор имел здесь в виду то, что в российской школе называется словом "обозначение". Причем не только в математике: помню, как класс моего ребенка на уроке обсуждал: "Какие признаки есть у предмета "стол"? Он может быть квадратный, деревянный, коричневый... А у слова "стол"? Оно односложное, в нем четыре буквы... Есть предмет - стол, и есть его обозначение - слово СТОЛ..." Вот как раз - о предмете и его representation в философском смысле у них речь и шла. Может быть, есть и более близкое слово, чем "обозначение", но "представление" (формально правильное), по-моему, не годится.

3. Еще бы - по тем же соображениям многозначности (и бОльшего распространения альтернативного значения) стоило бы, пожалуй, сделать что-то с "нотацией". Заменить на "систему записей" или хотя бы "математическую нотацию"? Вообще-то и "notions, not notations" переводить как "идеи, а не идиомы" - по-моему, слишком смело (ну при чем тут идиомы, если честно) - но признаю, пожалуй, что для математика "красивость" такого перевода - должна быть просто irresistible.

4. Еще я перевела бы "Let me know what you come up with!" скорее как "расскажи потом, что придумаешь". ИМожно и "что выйдет", "что получится" - мне, собственно, американизм "дай мне знать" больше всего не нравится... хотя и "придумаешь" - передает какую-то активность ученика (присутствующую в оригинале и исчезнувшую в варианте "что у тебя выйдет")
fregimus
Oct. 8th, 2008 07:56 am (UTC)
Спасибо за развернутый комментарий. Очень дельные замечания, обязательно учту их.
mnement
Oct. 6th, 2008 08:15 am (UTC)
Красиво. Я смотрю, в последнее время американское математическое сообщество довольно сильно озаботилось проблемой преподавания математики и тем, как заинтересовать людей. Собственно тот же сериал Numb3rs курирует кто-то из профессоров математики, где во вполне простой и понятной форме, хотя и с некоторыми притягиваниями за уши доносятся вполне математические вещи прилагаемо к реальной жизни. Похоже на тренд
maximusd_2006
Oct. 6th, 2008 12:22 pm (UTC)
Спасибо за труд. Жду продолжения.
dvoishnic
Dec. 14th, 2008 07:04 pm (UTC)
По моему мнению, чего следует избегать в любом преподавании дак это многословия и черезчур эмоциональных эпитетов. Исторические анекдоты в большинстве случаев также невыносимы. Лорд Рассел - пример для подражания.
dvoishnic
Dec. 14th, 2008 07:05 pm (UTC)
Кстати, у него масса непереведенного :)
(no subject) - fregimus - Dec. 14th, 2008 07:11 pm (UTC) - Expand
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
( 74 comments — Leave a comment )