?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Последовательность Хофштадтера (D.Hofstadter 1979,1999; GEB) задается рекуррентной формулой

Идея подобна последовательности Фибоначчи, только немного запутаннее. В последовательности Фибоначчи мы берем два предыдущих члена и складываем, чтобы получить следующий. В последовательности Хофштадтера мы берем два предыдущих члена, для каждого из них отсчитываем столько шагов назад, чему равен этот член, и теперь уже эти найденные элементы складываем.

Первые 500 элементов последовательности (20 в ряд):

1 1 2 3 3 4 5 5 6 6 6 8 8 8 10 9 10 11 11 12
12 12 12 16 14 14 16 16 16 16 20 17 17 20 21 19 20 22 21 22
23 23 24 24 24 24 24 32 24 25 30 28 26 30 30 28 32 30 32 32
32 32 40 33 31 38 35 33 39 40 37 38 40 39 40 39 42 40 41 43
44 43 43 46 44 45 47 47 46 48 48 48 48 48 48 64 41 52 54 56
48 54 54 50 60 52 54 58 60 53 60 60 52 62 66 55 62 68 62 58
72 58 61 78 57 71 68 64 63 73 63 71 72 72 80 61 71 77 65 80
71 69 77 75 73 77 79 76 80 79 75 82 77 80 80 78 83 83 78 85
82 85 84 84 88 83 87 88 87 86 90 88 87 92 90 91 92 92 94 92
93 94 94 96 94 96 96 96 96 96 96 128 72 96 115 100 84 114 110 93
106 124 82 101 111 108 118 104 108 106 114 104 114 109 100 109 120 112 108 118
106 105 130 110 114 115 112 107 120 114 122 121 120 114 138 110 122 119 120 130
132 113 133 123 118 125 121 129 122 136 129 116 149 137 120 123 143 146 107 139
138 139 135 120 146 135 143 129 151 133 135 136 148 148 136 144 143 152 129 139
151 140 148 136 151 159 125 147 153 148 154 152 136 152 155 146 144 162 151 157
154 149 160 155 152 155 162 154 159 153 165 157 154 168 161 156 160 168 153 169
170 159 161 172 161 168 161 172 171 161 171 172 167 172 172 168 175 170 171 173
174 175 175 174 176 174 177 182 175 178 178 184 177 178 184 180 179 186 179 185
185 184 186 184 187 188 186 186 188 190 187 188 190 192 188 192 190 192 192 192
192 192 192 256 135 202 210 188 200 220 186 196 202 242 149 201 229 171 193 238
188 193 206 228 202 193 220 196 210 202 214 220 182 217 234 204 208 215 215 222
218 194 231 186 216 236 210 240 204 211 230 230 164 234 241 239 214 220 222 230
222 222 212 226 228 230 228 230 214 228 252 203 242 233 219 252 230 215 243 238
242 228 244 228 228 238 240 221 249 228 238 237 248 237 231 238 245 250 234 239
234 262 228 228 286 239 235 271 249 240 242 252 261 233 253 268 243 234 269 257

Никакой системы не видно, но заметно, что значения близки к n/2. Поэтому интересно будет посмотреть на разность каждого члена с половиной его номера в последовательности. Эта разность тоже будет слегка расти с ростом n, поэтому имеет смысл, изображая ее графически, поделить на небольшую степень n. Мы рассмотрим точечные графики последовательности, заданной формулой . Конечное n с каждым графиком удваивается.

0
0
0
0
0
0
0

 

Фрактальненько?

Tags:

Comments

( 29 comments — Leave a comment )
ai_enable
Dec. 25th, 2008 10:17 am (UTC)
похоже на диаграмму-бабочку. А так - фрактальненько... ((:
fregimus
Dec. 25th, 2008 11:02 am (UTC)
Похоже? Ну, может быть.
alverena
Dec. 25th, 2008 03:38 pm (UTC)
Похоже на ёлку, повёрнутую на 90 градусов. =)
fregimus
Dec. 25th, 2008 08:59 pm (UTC)
Точно!
dmitry_thinker
Dec. 25th, 2008 10:24 am (UTC)
Последовательность взята непосредственно из ГЭБ? Или Хофштадтер где-то ещё об этом писал? Интересно!
fregimus
Dec. 25th, 2008 11:02 am (UTC)
Стр. 137 во втором издании. Больше не встречал нигде.
zwh
Dec. 25th, 2008 10:31 am (UTC)
можно попытаться сделать wav файл и прослушать
fregimus
Dec. 25th, 2008 11:00 am (UTC)
Ничего неожиданного.

zwh
Dec. 25th, 2008 11:16 am (UTC)
и правда :)
janatem
Dec. 25th, 2008 01:10 pm (UTC)
А что особенного в точках (примерно): ..., 375, 750, 1500, 3000, 6к, 12к ?
Перед этими точками "дисперсия" уменьшается, а потом резко возрастает. Из формулы как-то неочевидно наличие таких особенностей.
fregimus
Dec. 25th, 2008 01:46 pm (UTC)
Видно, что-то есть. В хаосе непременно должен быть порядок, иначе это какой-то неправильный хаос.
falcao
Dec. 25th, 2008 01:29 pm (UTC)
странные последовательности
"Хаотичненько", я бы сказал! :)

В таблицах у Вас числа слились -- видимо, из-за трёхзначности.

Из моих любимых примеров последовательностей с "непонятным" поведением я могу назвать такую: первый член равен 8, а каждый следующий получается из предыдущего по такому правилу: если x делится на 3, то далее идёт 2x/3; если не делится, то округляем 4x/3 до ближайшего целого. То есть получается 8, 11, 15, 10, 13, 17, 23, 31, 41, ... .

Неизвестно, что происходит далее. Например, "зацикливается" ли это дело. Эту последовательность также легко развернуть в обратную сторону -- перед 8 идёт 12, потом 18, 27, 20 и так далее.
fregimus
Dec. 25th, 2008 01:48 pm (UTC)
Re: странные последовательности
Числа слились — Вы, наверное, смотрите в Вашем стиле? У меня не сливаются ни в FF3, ни в IE7. Попробуйте вот так посмотреть: http://fregimus.livejournal.com/39568.html?format=light

Да, интересная последовательность. Надо будет подумать.
falcao
Dec. 25th, 2008 02:06 pm (UTC)
форматы
В таком изображении всё видно как надо (у меня MSIE6). А что это за формат "лайт"? И какие бывают "исчо"?
fregimus
Dec. 25th, 2008 10:37 pm (UTC)
Re: форматы
Вот тут есть кое-что:
lj://faq/259/
lj://faq/177/ (s2id=, styleid=)
lj://faq/175/ (style=mine, mode=reply)
(Deleted comment)
fregimus
Dec. 26th, 2008 12:54 am (UTC)
Нет-нет, Вы правы совершенно, что спрашиваете — в же обещал, но вот запустил. Постараюсь в ближайший день-два выложить.
termometr
Dec. 27th, 2008 07:57 pm (UTC)
Где такое дают?
и мне мистер Шухарт, и мне!..
fregimus
Dec. 27th, 2008 08:54 pm (UTC)
Re: Где такое дают?
termometr
Dec. 27th, 2008 09:21 pm (UTC)
Re: Где такое дают?
спасибо.
termometr
Dec. 27th, 2008 05:52 pm (UTC)
Это отображение - дискретный аналог уравнения Хатчинсона для процессов с памятью. Одно из сложнейших уравнений для интегрирования.

Где Вы их только находите? :)
fregimus
Dec. 27th, 2008 07:15 pm (UTC)
Аналог — не аналог, но идея похожая, да, — функция задает еще «сдвиг во времени», если бы аргумент был временем.
termometr
Dec. 27th, 2008 07:54 pm (UTC)
отображения - дискретный аналог дифуров. В них время как бы есть...

Так где откопали-то?
и когда музыку фликкер-шума будем уже слушать?
fregimus
Dec. 27th, 2008 08:42 pm (UTC)
Ну в первой же строчке написано: у Хофштадтера, в GEB. Во втором издании — на с. 137.

Музыку? Не-а, танцев сегодня не будет.
termometr
Dec. 27th, 2008 08:51 pm (UTC)
жаль. у меня еще столько идей! :)
dorinem
Feb. 6th, 2009 12:15 pm (UTC)
Ужжжжжасно интересно, спасибо!
fregimus
Feb. 6th, 2009 05:06 pm (UTC)
Пожалуйста, рад, что понравилось.
fregimus
May. 13th, 2009 01:12 am (UTC)
Спасибо. Надо будет посмотреть библиографию. Интересная последовательность.
( 29 comments — Leave a comment )