?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Снежинка Коха

Фрактальная снежинка Коха — в комментариях попросили нарисовать в Математике.

Берем правильный треугольник, каждую сторону делим на 3 части. Средний отрезок выбрасываем, а вместо него вставляем два таких же, соединенных «уголком». На первом шаге получается «звезда Давида». Повторяем процедуру с ней. С получившейся кривой — опять повторяем. Если повторять до бесконечности, то длина кривой будет расти до бесконечности, хотя площадь внутри кривой ограничена сверху.

На рисунке первые 5 шагов. Чтобы было понятно, как она строится, каждый раз снежинка «вырастает» в полтора раза и перекрашивается.



Исходный код, Mathematica 6.0. Сделан на основе R. Maeder. Generating the Koch Snowflake with Mathematica, 1992..
KochFlake[order_, size_] :=
  Nest[ (#1 /. Line[{start_, finish_}] :>
       Block[{normal, vec},
         vec = finish - start;
         normal = Reverse[vec] * {-1, 1} * Sqrt[3]/6;
         { Line[{start, start + vec/3}],
           Line[{start + vec/3, start + vec/2 + normal}],
           Line[{start + vec/2 + normal, start + 2 vec/3}],
           Line[{start + 2 vec/3, finish}] } ])&,
    Line /@ Partition[size * {{0, 1},{Sqrt[3]/2, -1/2},{-Sqrt[3]/2, -1/2}},
                      2, 1, {1, 1}],
    order];
   
Graphics[{Darker[Hue[#/6]], KochFlake[#, 1.5^#]} & /@ Range[0, 4],
         AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> {420, Automatic}]

Хозяйке на заметку: если будете экспериментировать с функцией KochFlake[], замените size в аргументе Partition[] на 1.0 * size, либо всегда передавайте плавающее число для аргумента size, как это делаю я в данном примере. Операции с плавающими числами Mathematica исполняет значительно быстрее, чем с корнями и рациональными — в данном случае примерно в 10 раз.

Tags:

Comments

( 24 comments — Leave a comment )
ta_samaja
Mar. 3rd, 2009 06:56 am (UTC)
Красиво :)
fregimus
Mar. 3rd, 2009 07:33 am (UTC)
Спасибо. Я старался!
vadim_i_z
Mar. 3rd, 2009 07:20 am (UTC)
Есть у нас очень толковая студентка по фамилии Кохан. Все забываю сказать ей, что на экзамене ее однокурсница сказала: "Кривая Кохан"...
fregimus
Mar. 3rd, 2009 07:35 am (UTC)
Да, может, оно и к лучшему… Я уж Вам, кажется, рассказывал — когда я учился, сокурсник на экзамене выдал «аксиомы Пеанино».
vadim_i_z
Mar. 3rd, 2009 07:39 am (UTC)
А я уже рассказывал про "уравнение Короткевича-де Фриза"...
dgri
Mar. 3rd, 2009 09:14 am (UTC)
Интересно, это от "кохати/кахаць", или от "Коган/Cohen"? :-))
vadim_i_z
Mar. 3rd, 2009 11:09 am (UTC)
Скорее первое...
dgri
Mar. 3rd, 2009 11:35 am (UTC)
Значит, тех, у кого фамилия на "ко", по-прежнему принимают? :-))
vadim_i_z
Mar. 3rd, 2009 11:39 am (UTC)
Ты хотел сказать "у тех"? Речь все-таки об экзамене...
Да, у них тоже принимают.
surfman83
Mar. 7th, 2009 01:04 pm (UTC)
100% от Коган
m_elena
Mar. 3rd, 2009 08:17 am (UTC)
Офигеть!
Вот теперь я наконец-то поняла, почему фрактал - самоподобная фигура. Раньше только это знала и твердила как попугай. Попробую тоже нарисовать
fregimus
Mar. 3rd, 2009 11:14 pm (UTC)
Re: Офигеть!
Есть еще красивые фрактальные ломаные: кривая Гильберта, кривая Серпинского, стрела Серпинского.
rickkinsky
Mar. 4th, 2009 08:05 pm (UTC)
А также салфетка Серпинского, да-да. Что создана специально для проклятий: "Чтоб ты вытирался салфеткой Серпинского!"
dgri
Mar. 3rd, 2009 09:15 am (UTC)
Пропаганда фрактального сионизма! :))
fregimus
Mar. 3rd, 2009 11:18 pm (UTC)
Да всё кругом — происки масонов!
fe_b
Mar. 12th, 2009 08:41 pm (UTC)
Поинтересуйтесь программой contextfree.exe
http://www.contextfreeart.org/

Там все фрактальное рисуется гораздо элегантнее.
fregimus
Mar. 12th, 2009 08:43 pm (UTC)
Спасибо. Тут не вопрос элегантности — речь-то о математическом объекте.
fe_b
Mar. 12th, 2009 09:12 pm (UTC)
Да я не ради объекта, а ради программы.
Она сама есть реализация математического объекта - контекстно-свободной грамматики.

И умеет удивительные вещи.
fregimus
Mar. 12th, 2009 09:17 pm (UTC)
Ага, спасибо, я посмотрел. Действительно, интересная вещь. Пропеарю.
(Anonymous)
Apr. 12th, 2009 04:18 pm (UTC)
не снежника Коха, а снежинка Koх. Кох - женщина
fregimus
Apr. 12th, 2009 08:41 pm (UTC)
Правда, что ли? Надо же, а такая с усами, бородой, в строгом костюме с галстуком. Ни за что бы не подумал!

Edited at 2009-04-12 08:43 pm (UTC)
(Anonymous)
Dec. 3rd, 2009 05:08 pm (UTC)
Кто нибудь подскажите сколько ребер в границе снежинки Коха после четвертого шага? Плииииииз
fregimus
Dec. 3rd, 2009 10:57 pm (UTC)
Возьмите сторону начального треугольника, включая одну вершину, но исключая следующую:

*________о

Одна вершина (звездочка — включенная точка, о - «выколотая»). Треугольник сложен из трех таких штук без перекрытия. По построению, эта сторона заменяется на

*___/\___о

Четыре вершины. На каждом шаге одна вершина превращается в 4. Дальше додумаете?
Aleksey Demidof
Dec. 6th, 2011 08:46 pm (UTC)
Спасибо. Но всё равно не понятно, не умею я работать в математике.
( 24 comments — Leave a comment )