?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Фотопортрет фрактала

Все видели фракталы, вычисленные на компьютере. А как насчет природных фракталов, которые можно увидеть и сфотографировать? Все, наверное, знают, что естественные береговые линии проявляют самоподобие на большом интервале масштабов карт. Смешивание подкрашенных жидкостей также порождает, при определенных условиях, видимые фрактальные структуры. Еще один пример «видимого» фрактала, и, пожалуй, один из «самых фрактальных», почти случайно обнаружил физик — исследователь хаотических процессов Дэвид Суит из университета Мериленда1. В 1999 году он заказал для украшения своего садика четыре зеркальных шара размером чуть меньше волейбольного мяча каждый. Может быть, случайно, а может быть, поняв, какой оптический инструмент неожиданно оказался у него в руках, он сложил их пирамидкой… и сделал потрясающие фотографии, попавшие на обложки «Нейчер» и «Сайентифик америкен»[см].


Впрочем, начнем с начала. Бильярд, с точки зрения математика, — игра куда сложнее прямоугольного плоского стола с шарами. Такой стол, пожалуй, — один из самых скучных и неинтересных бильярдов. Бильярды, которые исследуются в теории динамических систем, бывают самых разных форм и разновидностей. Математический бильярд может быть и не плоским, и даже не двумерным. Некоторые исследуемые бильярды даже невозможно построить в реальности, например, бильярд Адамара, где движение шара происходит на Римановой поверхности постоянной отрицательной кривизны…

Многие интересные бильярды проявляют хаотические свойства. Например, если на обычный бильярдный стол поставить круглую кастрюлю, от которой шары будут идеально отражаться, получится хаотический бильярд Синая.

Разумеется, в математике рассматривают идеализацию бильярда: вместо шара по поверхности движется точка, трение отсутствует, а отражение идеально. Сложенные пирамидкой 4 зеркальных шара представляют собой, причем в весьма хорошем приближении, трехмерный бильярд, где вместо шаров двигаются кванты света — фотоны. Центральная полость этого бильярда рассеивает свет хаотическим образом. Если мы запустим шарик-фотон из точечного источника света в один из 4 просветов между шарами (по одному в середине из каждой стороны тетраэдра, образованной любыми тремя шарами), то, после нескольких отражений, он вылетит из того же или из другого просвета.

Интересно было бы нарисовать цветную карту, показывающую, куда вылетит фотон, если запустить его из нашего точечного источника в определенном направлении. Но как нам это сделать? Очень просто, если запускать фотоны в обратном направлении, а вместо источника поместить приемник света: глаз или фотоаппарат. Если теперь мы осветим три других окна пирамидки разноцветными источниками рассеянного света, то увидим нашим глазом ту самую цветную карту: три цвета покажут, из какого источника прилетел фотон. Черные области будут соответствовать четвертому окну, тому, в которое мы смотрим.


Границы цветовых областей образуют фрактал, и обладают одним очень интересным, хотя и интуитивно труднопостижимым свойством: каждая точка на границе двух цветов лежит на границе всех цветов! Вы скажете, что такого не может быть. Например, у границ Франции, Швейцарии и Италии есть только одна такая точка, но как может одна граница разделять сразу три или больше стран? Это легко понять из следующего компьютерного фрактального изображения, аналогичного (Julia, 1918) нашему, но плоскому: если приглядеться, то сколь угодно близко к границе с каждым цветом оказывается миниатюрная копия бо́льшего объекта нашей карты, включающая «территории» двух других «стран», и так до бесконечности. Точки границы «выколотые», они не принадлежат никакой из стран, но в рядом с каждой точкой оказывается территория каждой из стран. Такое свойство границы называется свойством Вады, в честь открывшего его японского математика2.


Понятно, что наш бильярд чувствителен к начальным условиям: если фотон летит так, что проходит близко к границе, малое его отклонение приведет к тому, что он может оказаться на другой стороне от этой границы, в области другого цвета; более того, любая приграничная область при малом отклонении способна «выбрасывать» фотон в любое из четырех окон пирамидки. Таким образом, хаотическое рассеяние можно наблюдать в близких к границе областях3.


Вы можете воспроизвести результат Суита дома. Все, что для этого нужно — четыре зеркальных больших елочных шара и бумага, двух цветов и белая. Положите на стол белую бумагу, на нее установленные на картонных трубочках высотой около 3 см (их можно нарезать из картонной основы рулона туалетной бумаги) три шара, наверх положите четвертый. Из цветной бумаги соорудите подсвечивающие экраны около двух боковых просветов пирамидки. Результат будет не таким ярким, как с качественными зеркальными шарами и специальным подсвечивающим столом, как на фотографиях здесь, но фрактал все равно будет виден.

Пол Бурк, исследователь компьютерной графики из университета Западной Австралии, заинтересовавшись работой Суита, построил компьютерную модель отражения света в пирамидке. На странице, посвященной этой модели, также собраны красивейшие модели рассеяния света в этом оптическом приборе, сделанные другими авторами.

А вопрос, над которым любопытно задуматься, вот какой: существует ли на самом деле фрактал Суита? Можно сказать, что это просто оптический эффект, игра зеркал, но… существует ли береговая линия? Ведь можно сказать, что это просто воображаемая линия, возникающая только на карте мелкого масштаба или фотографии с самолета: встав у берега океана, мы увидим лишь совсем не фрактальную полосу прибоя. Есть ли такая линия на самом деле? А как насчет подкрашенных турбулентных потоков — они есть на самом деле? И существует ли Луна, когда ее никто не видит? Что же на самом деле есть, а что только кажется?

____________________________________________________
1. D Sweet, E Ott, JA Yorke. Topology in chaotic scattering. Nature, 399 (May 27 1999) : 315. Рукопись находится здесь.

2. Интересно, что описанная Вадой граница еще более удивительна: она пролегает между территориями… непрерывных, не разбитых на несвязные области стран! Так получается из-за переплетения бесконечно тонких в пределе «языков» одной территории, углубляющихся в другую. Это построение называется «озерами Вады»; подобный результат был также независимо, и, вероятно, чуть ранее, обнаружен и Брaуэром.

3. Одной только чувствительности к начальным условиям недостаточно, чтобы постулировать хаотичность; требуются еще топологическая транзитивность и плотное множество периодических орбит. И то, и другое можно получить, «замкнув» нашу систему плоскими зеркалами, помещенными напротив окон; впрочем, ни Суит и проч., ни автор этого опуса строгого доказательства не производили, хотя оно не обещает, на первый взгляд, быть сложным.

Tags:

Comments

( 51 comments — Leave a comment )
ijona_tihaja
Jun. 15th, 2010 09:31 am (UTC)
Ух.
fregimus
Jun. 15th, 2010 09:31 am (UTC)
Во!
slobin
Jun. 15th, 2010 09:40 am (UTC)
Самую наглядную иллюстрацию понятия "фрактальная размерность" я видел несколько лет назад на клумбе возле метро Арбатская. Я не знаю, как эти цветы называются, но их листьям в двух измерениях тесно: край листа идёт волнами (не в той же плоскости, как у дуба, а вверх-вниз), на краю этой волны идёт более мелкая волна, третья тоже вполне различима (характерные размеры что-то вроде 3см-1см-3мм). Размерность как логарифм отношения роста меры (количества "мяса") к росту линейных размеров.

... Das Imperium schlägt zurück ...

slobin
Jun. 15th, 2010 09:43 am (UTC)
Ну в смысле не "логарифм отношения", я оговорился. Логарифм роста меры по основанию роста линейных размеров. log28 = 3 для честного кубика. А для этих листиков -- два с небольшим.

... Если я правильно ошибаюсь ...

(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 01:48 pm (UTC) - Expand
(no subject) - slobin - Jun. 15th, 2010 05:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 05:22 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 15th, 2010 07:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 08:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 16th, 2010 06:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Aug. 17th, 2010 02:15 pm (UTC) - Expand
arens
Jun. 15th, 2010 10:24 am (UTC)
Ууу, а у меня шариков нет! Зато стол с подсветкой есть. Буду ждать рождества и первый раз за последние лет пятнадцать радоваться этому событию:)
fregimus
Jun. 15th, 2010 07:45 pm (UTC)
Да, я тоже сразу попытался купить елочные шарики. На меня смотрели с плохо скрываемым сожалением и отвечали, что в июне их не продают.
ushastyi
Jun. 15th, 2010 11:30 am (UTC)
Фрактал -- это математический объект. Поэтому, как любой математический объект, он существует лишь как математическая идея. Вопрос о существовании идей -- философский.

Береговая линия и другие природные фракталы -- математически фракталами не являются, но могут быть смоделированы при помощи фракталов с той или иной степенью точности.

Фрактал Суита -- интереснее. Поскольку математическая модель совпадает в данном случае с физической.

А вообще, очень интересный пример, спасибо.
fregimus
Jun. 15th, 2010 08:02 pm (UTC)
Математическая модель «совпадает с физической» — почему мы так говорим? Ведь она тоже не идеальна, тоже, строго говоря, математической моделью не является — шары отражают не все, не идеально круглые, свет кое-где просачивается, волновые эффекты при отражении, опять же… Все это малое — так дело в масштабе, малость относительна. Проще говоря, если б мы были великанами с гору, нам бы и фрактальность береговой линии показалась бы «совпадающей с физической». А были бы с амебу — какими негладкими были бы шарики.

Вот тут мне кажется, что выстраивание этих явлений по степени совпадения математической модели с физической зависит от масштаба, от размера нас самих.

Насчет философского вопроса — нет, я немного не в ту сторону спрашиваю. Насколько существует то, что мы видим. Существование видимого, наверное, другой вопрос. Ну да, тоже философский, куда ж деваться.
(no subject) - ushastyi - Jun. 16th, 2010 08:03 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 16th, 2010 09:00 am (UTC) - Expand
fortunatus
Jun. 15th, 2010 12:11 pm (UTC)
Интересно, что увидит человек, помещённый внутрь сферы с идеально отражающей внутренней поверхностью? Воображение мне отказывает. Кто-нибудь проводил такой опыт?
vorotylo
Jun. 15th, 2010 01:50 pm (UTC)
Роджер Желязны проводил подобный мысленный опыт в романе "Джек из теней". Правда, там кристалл, а не сфера.

(Нашёл лишь перевод;  см. "Он стоял на коленях среди сияния".)
(no subject) - better_days - Jun. 15th, 2010 02:47 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fortunatus - Jun. 15th, 2010 02:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 15th, 2010 08:04 pm (UTC) - Expand
(no subject) - better_days - Jun. 15th, 2010 11:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 15th, 2010 07:53 pm (UTC) - Expand
lastcomm
Jun. 15th, 2010 01:43 pm (UTC)
Я как раз заинтересовался физическим синтезом фракталов. Конкретно мне очень понравился вот этот
http://www.rfractals.net/gallery/main.php/v/Apollony/Apolonian+Gasket+II.jpg.html
и мне захотелось иметь такой на столе, металлический, и чтобы получился сам собой.. Но я пока ещё не придумал, как. Объёмная лазерная гравировка или голография - это не совсем то.
fregimus
Jun. 15th, 2010 07:46 pm (UTC)
У, физическим синтезом? Это как? Расскажите!
(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 08:21 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 15th, 2010 08:35 pm (UTC) - Expand
alisa_lebovski
Jun. 15th, 2010 01:43 pm (UTC)
Отличное учебное пособие получилось, кстати.
Нечасто сложные математические понятия можно так явно и просто представить на практике.

И насчет истории фракталов. Насколько мне известно, их сначала нашли в природе,
а уж потом стали моделировать на компьютере.
fregimus
Jun. 15th, 2010 07:51 pm (UTC)
Спасибо.

Историю фракталов я плохо знаю. Кох, Серпиньский — это самый конец XIX и начало XX в. Не думаю, что то время располагало к поиску природных фракталов; оно как-то более устремлено было к поиску в природе простоты, а не сложности. Но это все гадательно — не знаю просто.
(no subject) - alisa_lebovski - Jun. 16th, 2010 06:26 am (UTC) - Expand
(no subject) - ushastyi - Jun. 16th, 2010 08:18 am (UTC) - Expand
(no subject) - alisa_lebovski - Jun. 16th, 2010 08:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - ushastyi - Jun. 16th, 2010 09:37 am (UTC) - Expand
alexandermarkov
Jun. 15th, 2010 02:22 pm (UTC)
А побольше картинок нет?
fregimus
Jun. 15th, 2010 07:47 pm (UTC)
Нет, все, что есть. Попробуйте изгуголить — может, где есть сканы с обложек. Nature по ссылке, Scientific American один из номеров 2002 года.
(no subject) - slavin_e - Jun. 16th, 2010 06:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 16th, 2010 07:14 am (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Jun. 16th, 2010 07:56 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 16th, 2010 09:12 am (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Jun. 16th, 2010 09:48 am (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Jun. 15th, 2010 08:32 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
zweipatronen
Jul. 5th, 2010 01:11 pm (UTC)
Думаю, всё же это была не случайная находка. Суит в это время готовил диссертацию (Higher Dimensional Non Linear Dynamical Systems: Bursting and Scattering), руководителем которой был Отт. Последний, в свою очередь, в 1990 году совместно с другими авторами написал статью, рассматривающую как раз эту систему, что он также приводит в своей книге Chaos in dynamical systems (1993). Интересно, что на обложку второго издания её помещена соответствующая фотография, а содержание раздела дополнено информацией об эксперименте. Таким образом, на своей странице Суит, видимо, говорит лишь о происхождении шаров, но не предназначении, с целью которых они были приобретены.

И ещё кажется немного опрометчивым оперирование отдельными фотонами. Раз речь идёт о геометрическом приближении, то лучше, пожалуй, уж говорить о лучах, как это и делают, например, сами Суит и Отт в своих рассуждениях. Просто, когда речь идёт о фотонах, да ещё и единичных, и появляются фразы насчёт начальных условий и особенно упоминание прохождения фотона вблизи пограничной области, всплывает целый ряд вопросов, которые в итоге приводят к мысли, что фотонно-шариковый подход будет верным только «вдали» от границ и с допущением что-то не так. Потому что геометрический подход оперирует путями в виде тех самых лучей, ну или, в крайнем случае, «пучками света».
fregimus
Jul. 5th, 2010 11:34 pm (UTC)
Честно говоря, я не вижу разницы между отражением луча и потока бесконечно малых упругих точек. А какие именно там вопросы возникают?
(no subject) - zweipatronen - Jul. 6th, 2010 04:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jul. 6th, 2010 07:29 am (UTC) - Expand
(no subject) - zweipatronen - Jul. 6th, 2010 09:08 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jul. 6th, 2010 10:05 am (UTC) - Expand
avkh
Jun. 1st, 2016 10:10 am (UTC)
А вот интересно какой будет картинка, если фотографировать этот фрактал с большой диафрагмой. Чем больше дырка - тем больше разных оптических путей должны сойтись в одном пикселе, и каждый из них несёт свою картинку.. возможно что там не имеет смысла понятие "дистанция фокусировки" и всё будет размыто без возможности навестись на резкость, а может и нет. Мне интуиции не хватает это проинтуичить.
fregimus
Jun. 6th, 2016 05:01 am (UTC)
Мне кажется, что, хотя число отражений бесконечно, длина всех лучей (или, по крайней мере, почти всех — в математическом смысле almost all) будет конечна. Черные поля на фотографиях соответствуют четвертой грани тетраэдра, той, где стоит объектив — из нее цветной подсветки нет. А вообще Ваш вопрос отличный просто. Попробую вынести в отдельный пост, если соберусь вообще писать.
( 51 comments — Leave a comment )