?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Фотопортрет фрактала

Все видели фракталы, вычисленные на компьютере. А как насчет природных фракталов, которые можно увидеть и сфотографировать? Все, наверное, знают, что естественные береговые линии проявляют самоподобие на большом интервале масштабов карт. Смешивание подкрашенных жидкостей также порождает, при определенных условиях, видимые фрактальные структуры. Еще один пример «видимого» фрактала, и, пожалуй, один из «самых фрактальных», почти случайно обнаружил физик — исследователь хаотических процессов Дэвид Суит из университета Мериленда1. В 1999 году он заказал для украшения своего садика четыре зеркальных шара размером чуть меньше волейбольного мяча каждый. Может быть, случайно, а может быть, поняв, какой оптический инструмент неожиданно оказался у него в руках, он сложил их пирамидкой… и сделал потрясающие фотографии, попавшие на обложки «Нейчер» и «Сайентифик америкен»[см].


Впрочем, начнем с начала. Бильярд, с точки зрения математика, — игра куда сложнее прямоугольного плоского стола с шарами. Такой стол, пожалуй, — один из самых скучных и неинтересных бильярдов. Бильярды, которые исследуются в теории динамических систем, бывают самых разных форм и разновидностей. Математический бильярд может быть и не плоским, и даже не двумерным. Некоторые исследуемые бильярды даже невозможно построить в реальности, например, бильярд Адамара, где движение шара происходит на Римановой поверхности постоянной отрицательной кривизны…

Многие интересные бильярды проявляют хаотические свойства. Например, если на обычный бильярдный стол поставить круглую кастрюлю, от которой шары будут идеально отражаться, получится хаотический бильярд Синая.

Разумеется, в математике рассматривают идеализацию бильярда: вместо шара по поверхности движется точка, трение отсутствует, а отражение идеально. Сложенные пирамидкой 4 зеркальных шара представляют собой, причем в весьма хорошем приближении, трехмерный бильярд, где вместо шаров двигаются кванты света — фотоны. Центральная полость этого бильярда рассеивает свет хаотическим образом. Если мы запустим шарик-фотон из точечного источника света в один из 4 просветов между шарами (по одному в середине из каждой стороны тетраэдра, образованной любыми тремя шарами), то, после нескольких отражений, он вылетит из того же или из другого просвета.

Интересно было бы нарисовать цветную карту, показывающую, куда вылетит фотон, если запустить его из нашего точечного источника в определенном направлении. Но как нам это сделать? Очень просто, если запускать фотоны в обратном направлении, а вместо источника поместить приемник света: глаз или фотоаппарат. Если теперь мы осветим три других окна пирамидки разноцветными источниками рассеянного света, то увидим нашим глазом ту самую цветную карту: три цвета покажут, из какого источника прилетел фотон. Черные области будут соответствовать четвертому окну, тому, в которое мы смотрим.


Границы цветовых областей образуют фрактал, и обладают одним очень интересным, хотя и интуитивно труднопостижимым свойством: каждая точка на границе двух цветов лежит на границе всех цветов! Вы скажете, что такого не может быть. Например, у границ Франции, Швейцарии и Италии есть только одна такая точка, но как может одна граница разделять сразу три или больше стран? Это легко понять из следующего компьютерного фрактального изображения, аналогичного (Julia, 1918) нашему, но плоскому: если приглядеться, то сколь угодно близко к границе с каждым цветом оказывается миниатюрная копия бо́льшего объекта нашей карты, включающая «территории» двух других «стран», и так до бесконечности. Точки границы «выколотые», они не принадлежат никакой из стран, но в рядом с каждой точкой оказывается территория каждой из стран. Такое свойство границы называется свойством Вады, в честь открывшего его японского математика2.


Понятно, что наш бильярд чувствителен к начальным условиям: если фотон летит так, что проходит близко к границе, малое его отклонение приведет к тому, что он может оказаться на другой стороне от этой границы, в области другого цвета; более того, любая приграничная область при малом отклонении способна «выбрасывать» фотон в любое из четырех окон пирамидки. Таким образом, хаотическое рассеяние можно наблюдать в близких к границе областях3.


Вы можете воспроизвести результат Суита дома. Все, что для этого нужно — четыре зеркальных больших елочных шара и бумага, двух цветов и белая. Положите на стол белую бумагу, на нее установленные на картонных трубочках высотой около 3 см (их можно нарезать из картонной основы рулона туалетной бумаги) три шара, наверх положите четвертый. Из цветной бумаги соорудите подсвечивающие экраны около двух боковых просветов пирамидки. Результат будет не таким ярким, как с качественными зеркальными шарами и специальным подсвечивающим столом, как на фотографиях здесь, но фрактал все равно будет виден.

Пол Бурк, исследователь компьютерной графики из университета Западной Австралии, заинтересовавшись работой Суита, построил компьютерную модель отражения света в пирамидке. На странице, посвященной этой модели, также собраны красивейшие модели рассеяния света в этом оптическом приборе, сделанные другими авторами.

А вопрос, над которым любопытно задуматься, вот какой: существует ли на самом деле фрактал Суита? Можно сказать, что это просто оптический эффект, игра зеркал, но… существует ли береговая линия? Ведь можно сказать, что это просто воображаемая линия, возникающая только на карте мелкого масштаба или фотографии с самолета: встав у берега океана, мы увидим лишь совсем не фрактальную полосу прибоя. Есть ли такая линия на самом деле? А как насчет подкрашенных турбулентных потоков — они есть на самом деле? И существует ли Луна, когда ее никто не видит? Что же на самом деле есть, а что только кажется?

____________________________________________________
1. D Sweet, E Ott, JA Yorke. Topology in chaotic scattering. Nature, 399 (May 27 1999) : 315. Рукопись находится здесь.

2. Интересно, что описанная Вадой граница еще более удивительна: она пролегает между территориями… непрерывных, не разбитых на несвязные области стран! Так получается из-за переплетения бесконечно тонких в пределе «языков» одной территории, углубляющихся в другую. Это построение называется «озерами Вады»; подобный результат был также независимо, и, вероятно, чуть ранее, обнаружен и Брaуэром.

3. Одной только чувствительности к начальным условиям недостаточно, чтобы постулировать хаотичность; требуются еще топологическая транзитивность и плотное множество периодических орбит. И то, и другое можно получить, «замкнув» нашу систему плоскими зеркалами, помещенными напротив окон; впрочем, ни Суит и проч., ни автор этого опуса строгого доказательства не производили, хотя оно не обещает, на первый взгляд, быть сложным.

Tags:

Comments

( 47 comments — Leave a comment )
ijona_tihaja
Jun. 15th, 2010 09:31 am (UTC)
Ух.
fregimus
Jun. 15th, 2010 09:31 am (UTC)
Во!
slobin
Jun. 15th, 2010 09:40 am (UTC)
Самую наглядную иллюстрацию понятия "фрактальная размерность" я видел несколько лет назад на клумбе возле метро Арбатская. Я не знаю, как эти цветы называются, но их листьям в двух измерениях тесно: край листа идёт волнами (не в той же плоскости, как у дуба, а вверх-вниз), на краю этой волны идёт более мелкая волна, третья тоже вполне различима (характерные размеры что-то вроде 3см-1см-3мм). Размерность как логарифм отношения роста меры (количества "мяса") к росту линейных размеров.

... Das Imperium schlägt zurück ...

slobin
Jun. 15th, 2010 09:43 am (UTC)
Ну в смысле не "логарифм отношения", я оговорился. Логарифм роста меры по основанию роста линейных размеров. log28 = 3 для честного кубика. А для этих листиков -- два с небольшим.

... Если я правильно ошибаюсь ...

(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 01:48 pm (UTC) - Expand
(no subject) - slobin - Jun. 15th, 2010 05:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 05:22 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 15th, 2010 07:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Jun. 15th, 2010 08:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jun. 16th, 2010 06:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lastcomm - Aug. 17th, 2010 02:15 pm (UTC) - Expand
arens
Jun. 15th, 2010 10:24 am (UTC)
Ууу, а у меня шариков нет! Зато стол с подсветкой есть. Буду ждать рождества и первый раз за последние лет пятнадцать радоваться этому событию:)
fregimus
Jun. 15th, 2010 07:45 pm (UTC)
Да, я тоже сразу попытался купить елочные шарики. На меня смотрели с плохо скрываемым сожалением и отвечали, что в июне их не продают.
ushastyi
Jun. 15th, 2010 11:30 am (UTC)
Фрактал -- это математический объект. Поэтому, как любой математический объект, он существует лишь как математическая идея. Вопрос о существовании идей -- философский.

Береговая линия и другие природные фракталы -- математически фракталами не являются, но могут быть смоделированы при помощи фракталов с той или иной степенью точности.

Фрактал Суита -- интереснее. Поскольку математическая модель совпадает в данном случае с физической.

А вообще, очень интересный пример, спасибо.
fregimus
Jun. 15th, 2010 08:02 pm (UTC)
Математическая модель «совпадает с физической» — почему мы так говорим? Ведь она тоже не идеальна, тоже, строго говоря, математической моделью не является — шары отражают не все, не идеально круглые, свет кое-где просачивается, волновые эффекты при отражении, опять же… Все это малое — так дело в масштабе, малость относительна. Проще говоря, если б мы были великанами с гору, нам бы и фрактальность береговой линии показалась бы «совпадающей с физической». А