?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Дж. В. Харт. Как разрезать бублик на две равные сцепленные половинки.



Центр бублика помещается в начало координат, симметрично вокруг оси Z. Плавная линия разреза проходит через точки:
    A, высшая точка над положительной полуосью X.
   B, где положительная полуось Y пересекает поверхность ближе к началу координат.
   C, низшая точка под отрицательной полуосью X.
   D, где отрицательная полуось Y пересекает поверхность дальше от начала координат.



Разрезать острым ножом вдоль линии ABCDA по нормали к поверхности в каждой точке.



Намазать плавленым сыром. Подавать с кофе.



Задача. Найти отношение площади разреза к площади сечения того же бублика плоскостью z=0 (иными словами, насколько большую площадь придется вымазать сыром, если намазывается только рассеченная хлебная поверхность, а корка не намазывается).

Доб. Очевидно, можно разрезать 2-крендель (то есть крендель в форме 2-тора), чтобы части остались сцепленными через одно ушко. А можно ли его разрезать так, чтобы половинки были сцеплены дважды?

Доб. http://l-i-d-y-a.livejournal.com/151310.html

Tags:

Comments

( 26 comments — Leave a comment )
degtyarchuk
Nov. 7th, 2010 08:07 am (UTC)
площадь вроде будет в 2 раза больше.
fregimus
Nov. 7th, 2010 08:26 am (UTC)
Я сам не знаю. Интегрировать надо…
riki_koen
Nov. 7th, 2010 03:10 pm (UTC)
Площади равны.
pingback_bot
Nov. 7th, 2010 08:20 am (UTC)
Ням-ням!
User randomisator referenced to your post from Ням-ням! saying: [...] Математический завтрак [...]
spamsink
Nov. 7th, 2010 08:27 am (UTC)
Мне больше нравится идея разрезать по ленте Мёбиуса, чтобы и намазать было можно, и не распадалось.
fregimus
Nov. 7th, 2010 08:29 am (UTC)
По-всякому можно. У меня есть токарный станок для нарезания яблок спиралью. Счищает кожуру, вырезает сердцевину и нарезает мякоть спиралью за один проход. Не удержался вот…
janatem
Nov. 8th, 2010 09:27 am (UTC)
Забавная, надо полагать, железка. С ЧПУ или вручную управляется?
justso123
Nov. 7th, 2010 10:58 am (UTC)
Вот!
А говорят, математика далека от жизни. Идем за бубликами, точим ножи.
fregimus
Nov. 7th, 2010 02:10 pm (UTC)
fregima спросила, почему бублики делаются с дыркой. Я объяснил, что исторически это делалось для того, чтобы увеличить поверхность, чтобы булка пропекалась в печах с не очень хорошей теплоемкостью. Тогда она вполне резонно спросила, почему бублики делаются в форме 1-тора, а не 2- или 3-тора, ведь, чем больше дыр, тем больше поверхность — и я не нашелся, что ответить.

О, неужели… крендели!
janatem
Nov. 7th, 2010 03:33 pm (UTC)
Интуитивно кажется, что площадь будет такой же.

Обоснование. Мы имеем дело с фигурами следующего вида: есть некая кривая -- образующая (в данном случае замкнутая, но это неважно), и на нее "нанизаны" ортогонально ей отрезки одинаковой длины. (При этом образующая пересекает отрезок посередине, но это тоже вроде неважно.) Гипотеза в том, что площадь фигуры, составленной из этих отрезков, равна произведению длины образующей на длину отрезка.

По первому методу разрезания получается кольцо -- оно принадлежит к описываемому классу фигур, и для него утверждение о площади верно. И по второму методу разрезания фигура получается того же класса. Если гипотеза верна, то площади равны.
janatem
Nov. 7th, 2010 03:44 pm (UTC)
Ну да, утверждение о площади выводится непосредственно из интегрального определения при условии, что образующая обладает хорошими свойствами (достаточно ее гладкости почти всюду).

Осталось убедиться, что разрез по хитрому методу приводит к нужному классу фигур. Действительно, нормаль к поверхности тора в любой точке пересекает малую образующую окружность по диаметру. Этот диаметр и будет отрезком, нанизанным на окружность-"ось" тора.
riki_koen
Nov. 7th, 2010 03:47 pm (UTC)
Если по-честному написать дифференциалы площадей, они совпадут. (На первый взгляд кажется, что в случае разрезания тора плоскостью xy интегрировать надо одному углу (скажем, $\phi$), а при разрезании по спирали — по двум ($\phi$ и, скажем, $\theta$). При ближайшем рассмотрении оказывается, что дифференциал площади во втором случае не содержит линейной относительно $d\theta$ части.)
janatem
Nov. 7th, 2010 05:06 pm (UTC)
Наверно можно более общо, не завязываясь на конкретной фигуре: если ввести криволинейные координаты $\ksi, \eta$ так, чтобы одна ось был параллельна образующей, а другая -- отрезкам, то достаточно убедиться что определитель матрицы $d(\ksi,\eta)/d(x,y)$ был равен единице. Т.е. дифференциал площади в новых координатах будет $d\ksi d\eta$.
riki_koen
Nov. 8th, 2010 01:59 am (UTC)
Да, так проще и красивее. Бесспорно.
janatem
Nov. 8th, 2010 12:24 pm (UTC)
Эх, я был неправ. Моя гипотеза верна лишь для плоских фигур. Если они могут закручиваться в пространстве, то дифференциал площади может быть нетривиальным.

Поэтому решать надо в лоб. Для фигуры, заданной параметрически , где u,v пробегают некоторую область, используем формулу площади, например, отсюда.

Я выбрал параметры u,v так, что пробегает по образующей (окружности), а по отрезку. Здесь R и r -- радиусы тора. (Наверно нужны еще какие-то пояснения по тому, как параметрически задается сечение, но я потом изложу интересующимся.) У меня получилось вот что:



Если выбросить последнее слагаемое под корнем, то получится в точности площадь кольца -- сечение по первому способу. А с ним интеграл точно будет больше. Я поленился добивать его, чтобы получить ответ; кроме того, не уверен, что косинус под корнем берущийся.
riki_koen
Nov. 8th, 2010 01:19 pm (UTC)
Мне кажется, что ваше предыдущее объяснение верное, а это — какое-то странное. По крайней мере, интеграл, который вы написали, действительно не берётся в нормальных функциях (ну, скажем так, альфа Вольфрама не берёт). Мне не очень понятно, окуда он взялся. Я получал пплощадь без применения чужеродных формул, по-честному рисуя на бумажке приращения по каждой координате. Но в несколько других координатах (интегрировал по двум углам).
janatem
Nov. 8th, 2010 01:44 pm (UTC)
Действительно, выписанный интеграл был выведен, а выкладки остались за кадром (мне понадобилось три листа бумаги). Изначально я брал такую формулу площади параметрически заданной фигуры (сам поленился ее выводить):

, где g_ij, кажется, называемся метрическим тензором, . Функция переводит область D в нашу поверхность в трехмерном пространстве; вместо x1, x2 я писал u и v.

Засомневаться в первоначальном ответе меня вот что заставило: нерастяжимый лист бумаги невозможно свернуть в спираль (я неформально под спиралью подразумеваю хитрую поверхность разреза тора), обязательно придется его где-то ужать, где-то растянуть. Поверхности, которые можно свернуть из нерастяжимой бумаги определяются очень просто (я чисто случайно что-то помню из курса ангема) -- надо чтобы вторая дифференциальная форма была равна нулю. Говоря человеческим языком, такие поверхности локально устроены как цилиндр (или частный его случай конус). Поэтому нельзя лист свернуть ни в сферу, ни в спираль, как в нашем случае.
janatem
Nov. 8th, 2010 01:49 pm (UTC)
Всю формулу-то не надо было засовывать: оно довольно тривиально распадается на части, нужно взять лишь http://www.wolframalpha.com/input/?i=[Integrate[Sqrt[%28A%2BCos[u]%29%2C+{u%2C0%2C2+\[Pi]}]

А он в свою очередь вроде бы не выражающийся в элементарных функциях (по крайней мере та альфа так говорит).
ijona_tihaja
Nov. 7th, 2010 09:10 pm (UTC)
хорошо получилось!
fregimus
Nov. 7th, 2010 11:41 pm (UTC)
Только сейчас понял, что, читая, можно подумать, будто это я придумал. Если с Вами такой казус приключился — это я виноват. Сейчас имя шеф-повара впишу, чтобы не выходило такой путаницы.
ijona_tihaja
Nov. 7th, 2010 09:10 pm (UTC)
главное аппетитно
l_i_d_y_a
Nov. 10th, 2010 09:09 am (UTC)
У меня получилось: http://l-i-d-y-a.livejournal.com/151310.html
Только у отечественного бублика, как оказалось, немного другие топологические свойства. Крошится.
yuv_k
Nov. 29th, 2010 03:28 pm (UTC)
http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html элемент dS для ленты Мебиуса - с точность до преобразований выражение janatem под интегралом.

Интересный момент - что площадь ленты Мебиуса больше примерно на 1.115 процента, чем площадь полоски бумаги, из которой свернули ленту Мебиуса при r=1, R=2 - что соответсвует полоске бумаги длиной 4Pi и шириной 2. Т.е. берем бумажную ленту площади S=4Pi*2 сворачиваем в ленту Мебиуса площади 1.0115*S. Дальше берем 1000 полосок из золота с удельной плотностью 10 г/на квадратный дюйм - сворачиваем их в ленты Мебиуса и получаем хороший навар.
pingback_bot
Nov. 29th, 2010 03:37 pm (UTC)
Завтрак торический
pingback_bot
Jul. 20th, 2011 01:31 pm (UTC)
No title
User insula referenced to your post from No title saying: [...] Пост, ярко иллюстрирующий несовместимость математики и кулинарии [...]
livejournal
Sep. 14th, 2013 04:12 pm (UTC)
Срослось.
User k_to_k referenced to your post from Срослось. saying: [...] И на закуску: Originally posted by at Математически верный завтрак [...]
( 26 comments — Leave a comment )