L. Fregimus Vacerro (fregimus) wrote,
L. Fregimus Vacerro
fregimus

По геометрическим местам

Расскажите мне, пожалуйста, представляете ли вы себе отрезок или окружность состоящими из точек? Можно ли окружность «разобрать» на составляющие ее точки? Если да, то как так можно из не имеющих размера точек составить имеющую размер линию? Как это укладывается в голове?

Аристотель полагал такую возможность абсурдной.

Интересно мнение и математиков, и естественников, и гуманитариев. Я знаю, что математики сейчас вспомнят Лебегову меру, и все сделается интуитивно просто и естественно. Но совсем недавно, до самого конца в XIX в., даже слов таких еще не было. Как бы без них, а обычной, не математической интуицией обойтись?

Прямую линию в геометрии не определяют, но окружность имеет определение.

Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной.

Здесь используется операционное понятие множества. Хотелось бы без него. Попробуем так:

Окружность есть геометрическое место (locus, τόπος) точек, равноудаленных от данной.

Геометрическое место определяется предикативно, не через собирание всех входящих в него точек, а через описание свойства любой из них (не все точки, равноудаленные от данной, образуют собою окружность, но любая точка, принадлежащая окружности, равноудалена от данной). Но это определение, хотя и приводится в классических учебниках, но, на мой взгляд, хромает: две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы, даже если их границы являются плотными множествами точек. Как бы еще это разрулить? Плотная, но не непрерывная линия — тоже не очень интуитивное понятие. Аристотель бы не одобрил.

Евклид: Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (1, 15). Σχῆμα ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον (1, 14). Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας (1, 13).

То есть, круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, обладающая тем свойством, что одинакова длина всех/каждой (πᾶσαι) прямой, падающей на нее из одной точки внутри фигуры. Фигура (σχῆμα) — это то, что содержится внутри границы или границ, а граница (ὅρος) — край/предел (πέρας) чего угодно. Иными словами, у Евклида — геометрическое место, а не множество.

Не представляю себе, насколько современному человеку естественно понятие множества точек, составляющих линию. Для меня, испорченного математикой, оно естественно вполне. Для Аристотеля это было нелепостью. Евклид аккуратно обходит острые углы.
Tags: brain, math
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 81 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →