?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Вигнер Е «Непостижимая эффективность математики в естественных науках (физика наших дней)» УФН 94 (3) (1968) / Е. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Лекция в честь Рихарда Куранта, прочитанная 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете. Перевод В. А. Белоконя и В. А. Угарова.

…две главные идеи, которым посвящена статья. Первая идея: математические представления могут оказаться в совершенно неожиданной связи. Более того, они часто приводят к неожиданно удачному и точному описанию явлений в этой связи. Вторая идея: именно благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не может узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками.

…Моя главная цель - осветить этот вопрос с нескольких сторон. С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий. Для того чтобы обосновать утверждение о невероятно важной роли математики в физике, полезно для начала сказать кое-что по поводу того, что такое математика, затем выяснить, что такое физика. После этого следует рассмотреть роль математики в физической теории и, наконец, понять, почему успехи математики в физике оказываются столь потрясающими. Совсем кратко мы остановимся на вопросе о единственности теорий в физике…

Трудно отделаться от впечатления, что чудо («В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм, причем определенные аспекты реальности как будто бы в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» Н. Бурбаки. — перев.), представшее перед нами, не менее поразительно, чем то, что разум человека смог связать воедино и без противоречий тысячи аргументов. Это чудо можно сравнить ещё с двумя чудесами: существованием законов природы и способностью человеческого мышления раскрывать их. Наиболее правдоподобным объяснением независимого формирования математических понятий в физике, как мне кажется, служит утверждение Эйнштейна, что единственным критерием для принятия физических теорий должна быть их красота… Математические понятия, которые стимулируют мысль бесспорно, обладают красотой. Однако высказывание Эйнштейна в лучшем случае относится к характеру теорий, в которые мы хотим верить, но не имеет отношения к точности, присущей той или иной теории. Поэтому мы займемся именно последним вопросом.

Возможное объяснение того факта, что физики используют математику для формулировки законов природы, состоит в том, что физики — довольно безответственные люди. Именно поэтому, когда физик обнаруживает взаимосвязь между двумя физическими величинами, которая напоминает связь, хорошо известную из математики, он немедленно приходит к заключению, что найденная им связь тождественна связи, рассмотренной в математике, просто потому, что он не знает никакой другой. Цель приведенного рассуждения состоит отнюдь не в том, чтобы опровергнуть обвинение физиков в известной безответственности. Не исключено, что это обвинение и справедливо. Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком…

…эффективность и точность математической формулировки законов природы на языке таких понятий, с которыми удобно проводить различные манипуляции; при этом законы природы, как оказывается, обладают почти фантастической точностью, хотя и в узко ограниченном диапазоне условий. Я предлагаю называть закономерность, которую иллюстрируют эти примеры, эмпирическим законом эпистемологии (т. е. науки об основах теории познания). Этот закон вместе с принципами инвариантности представляет собой неотъемлемую часть теоретической физики. Без законов инвариантности утверждения теоретической физики не могли бы служить основой для объяснения явлений; но если бы не был верен закон эмпирической эпистемологии, то у нас просто не хватило бы духу совершать открытия, т. е. не было бы достаточных эмоциональных стимулов для успешного изучения законов природы. Доктор Р. Г. Сакс, с которым я обсуждал эмпирический закон эпистемологии, назвал этот закон догматом веры физиков-теоретиков. Это так и есть на самом деле (В этом месте идеи Вигнера в особенности перекликаются с идеями Эддингтона…). Этот догмат веры, однако, хорошо подкрепляется примерами из практики, куда более многочисленными, чем те три примера, о которых шла речь выше.

Эмпирическая природа предыдущих заключений представляется мне очевидной. Они, несомненно, не являются «логически неизбежными», и нет никакой необходимости для доказательства этого ссылаться на их применимость только к весьма незначительной части нашего знания неживого мира. Но было бы абсурдным верить в очевидность того, что существует математически простое выражение для второй производной от координаты, поскольку не существует простых выражений для самой координаты и скорости. Тем более удивительна готовность верить в чудесный дар, содержащийся в эмпирическом законе эпистемологии. Ведь способность человеческого разума «нанизывать» одно за другим 1000 умозаключений и не запутываться в противоречиях, о чем я говорил выше, - столь же чудесный дар…

Рассмотрим несколько примеров «ложных» теорий, которые дают пугающе (в силу их ложности) точное описание некоторых групп явлений …теори[я] свободных электронов, которая дает загадочно точное описание многих, если не большинства, свойств металлов, полупроводников и изоляторов. Она объясняет, в частности, тот факт (который никогда не удавалось понять на основе «настоящей теории»), что изоляторы обнаруживают удельное электрическое сопротивление, иногда в 1026 раз превосходящее сопротивление металлов. Фактически нельзя найти каких-либо опытных опровержений того, что сопротивление изоляторов в некоторых условиях бесконечно, как это предсказывается теорией свободных электронов. Тем не менее мы убеждены, что теория свободных электронов представляет собою лишь грубое приближение, которое рано или поздно будет заменено на более подходящий способ описания явлений в твердом теле.

Достигнутые нами успехи позволяют сказать, что положение с теорией свободных электронов тревожное, однако оно вряд ли свидетельствует о непреодолимых противоречиях современных представлений. И все же теория свободных электронов внушает нам сомнения относительно того, должны ли мы безоговорочно принимать численное согласие между теорией и экспериментом как доказательство корректности теории. Мы уже привыкли к таким сомнениям (Л. Д. Ландау однажды очень четко сказал: «По принципу Бора согласие теории с экспериментом само по себе ничего не означает». — перев.).

Гораздо больше трудностей и сомнений возникло бы, если бы нам удалось в один прекрасный день разработать теорию сознания, или теоретическую биологию, с той же последовательностью и убедительностью, какой обладают наши теории неживой природы. Менделевские законы наследственности и развитие генетики могут оказаться предвестниками такой биологической теории. Более того, вполне возможно, что удастся найти достаточно абстрактный аргумент, который укажет на существование противоречия между такой теорией и известными принципами физики. Аргумент этот может оказаться столь абстрактным, что будет невозможно разрешить упомянутое противоречие в пользу той или иной теории - даже экспериментально. В такой ситуации наша вера в наши теории была бы сильно подорвана; возникло бы сомнение в реалистичности принимаемых нами понятий. Тогда мы испытали бы глубокое чувство крушения в наших попытках найти то, что я называю «конечной истиной». Довод в пользу принципиальной допустимости такой ситуации сводится к тому, что мы не знаем, почему так хорошо работают наши теории. Ибо их точность не может служить доказательством ни их истинности, ни взаимной согласованности. Автор данной статьи убежден в том, что ситуация, аналогичная этой, имеет место при сопоставлении современных законов наследственности и физики.

Позвольте мне все же закончить более оптимистически. Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира.


Что думает всеведущий All о непостижимой эффективности математики в физике? Математика, безусловно, эффективна в физике — но, может быть, тут можно и с другой стороны посмотреть, сделав поправку на «субъективную объективность» физики, не рассматривая ее вне нас, человеков. Физические объекты — не природная данность, а работа человеческого мышления, как и математика. Вигнер касается этого, но только мельком, не углубляясь, когда говорит о выделении абстракций и пренебрежении определенными деталями объектов. То есть, сопоставления, изоморфизмы, можно сказать, строятся у него между объектами мира и объектами теории. А меня вот эти самые объекты мира беспокоят. Нет ведь такой штуки, как совсем уж объективные объекты мира. Кто-нибудь из физиков ставил вопрос так? Мне сейчас интересно, чтобы это были не философы, а естественники, и лучше всего физики.

Tags:

Comments

( 66 comments — Leave a comment )
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
jamhed
May. 22nd, 2011 09:51 pm (UTC)
ну почему только физика. 2+2=4 не вызывает сомнений даже у гуманитариев. а должно, по идее.
fregimus
May. 23rd, 2011 01:03 am (UTC)
Скажем, я не такой оптимист, как Вы, но — мне интересно, как именно физики относятся к удивительной эффективности математики в физике. Если бы математика была так же эффективна в философии, меня бы интересовали в первую очередь мнения философов.
(no subject) - jamhed - May. 23rd, 2011 01:38 am (UTC) - Expand
_glav_
May. 22nd, 2011 09:51 pm (UTC)
По-моему, не важно, есть ли объективные объекты мира или нет, как не важно, является электрон волной или частицей. Важно, что физические теории позволяют предсказать, что, проведя определённые измерения, мы получим определённый результат. С другой стороны, концепция объективной природы и математической красоты важна для последующего познания окружающего мира. Т.е. получается, что сама точка зрения на эти материи определяется нашими целями, для чего именно нам необходим именно такой взгляд на мир.
fregimus
May. 23rd, 2011 12:17 am (UTC)
В такой дихотомии, математика оказывается не только в «красивой» части, она еще и в той, что предсказывает точный результат. Я не совсем понял, почему Вы делаете эти две стороны в рассуждении — они ведь обе математилеские?
(no subject) - _glav_ - May. 23rd, 2011 07:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 23rd, 2011 08:20 am (UTC) - Expand
(no subject) - _glav_ - May. 23rd, 2011 08:53 am (UTC) - Expand
grihanm
May. 23rd, 2011 01:03 am (UTC)
Можно смотреть и с другой стороны: эффективна, да не очень. Сплошные приближения. А можно ещё антропно: мы не в состоянии постичь то, для чего математика неэффективна, а то, что мы до сих пор постигли - верхушка айзберга.
ziegel
May. 23rd, 2011 07:59 am (UTC)
+1
если в руках молоток, то все вокруг похоже на гвоздь. И, (о чудо!), многое удается забить этим молотком с удивительной эффективностью. Иногда это оказывается очень полезно.
А других инструментов у нас нет или мы их не считаем инструментами. Ну в самом же деле, дрелью гвоздь забить очень трудно, а увеличительным стеклом и вовсе невозможно.
(no subject) - fregimus - May. 23rd, 2011 08:22 am (UTC) - Expand
(no subject) - grihanm - May. 23rd, 2011 04:39 pm (UTC) - Expand
(no subject) - grihanm - May. 23rd, 2011 07:53 pm (UTC) - Expand
aytereschenko
May. 23rd, 2011 01:29 am (UTC)
Поражает, что средняя длина слов в тексте > 10 букв. Русский язык ужасен =)
fregimus
May. 23rd, 2011 08:25 am (UTC)
Ерунда. Не удивлюсь, если среднее число английских слов, затраченных на выражение той же мысли, окажется вдвое больше, чем в русском. Тут или слова короткие, но много их, или длинные, но поменьше.
(Deleted comment)
fregimus
May. 23rd, 2011 06:11 am (UTC)
Вариант, вариант. Так кто из физиков об этом писал?
(no subject) - lyuden - May. 23rd, 2011 07:24 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 23rd, 2011 08:27 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(no subject) - fregimus - May. 23rd, 2011 08:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - darth_vasya - May. 26th, 2011 04:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - darth_vasya - May. 26th, 2011 04:18 pm (UTC) - Expand
v_s_c
May. 23rd, 2011 06:06 am (UTC)
"Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками."

А и не обязано быть такое взаимно-однозначное соответствие. Важно открыть замок, а сколько еще ключей его могди бы открыть - по большому счету не важно. Даже сейчас многие замки не открыты, а если отойти назад на 100-200-500-2000 лет ситуация становится еще хуже.

В общем, присоединяюсь к _glav_. ;-)
lyuden
May. 23rd, 2011 06:57 am (UTC)
Если эта эффективность действительно обусловлена особенностями человеческого мышления - то поскольку эти особенности по определению неизменяемы (это же то что делает нас людьми) то их можно не учитывать, ну как движение солнечной системы вокруг ядра галактики при расчете парового двигателя.

И да как тут уже говорили, куча замков не открыта.

И вопрос о корректности мат. модели если она выдает данные согласующиеся с экспериментом, для меня не стоит. Термодинамика - это лютая шизофрения с точки зрения молекулярного строения вещества - и никого это не волнует.
fregimus
May. 23rd, 2011 08:32 am (UTC)
Ну и что — и спрашивать нельзя? Ответ — так устроен мир. Да?
(no subject) - dim_susami - May. 23rd, 2011 08:43 am (UTC) - Expand
(no subject) - lyuden - May. 23rd, 2011 08:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - lenivtsyn - May. 23rd, 2011 07:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - lyuden - May. 24th, 2011 04:21 am (UTC) - Expand
dim_susami
May. 23rd, 2011 08:40 am (UTC)
[i]Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять[/i]
Математика создавалась для описания мира, а не как "вещь в себе". И совершенствовалась в тесной кооперации с физикой. Мы - физики - не изучаем "как оно есть на самом деле". Этим философы занимаются. Мы изучаем наблюдаемые измеряемые явления, ищем закономерности и строим модели. Модели мы строим математические, отчего же математике не соответствовать "физическим законам"?
fregimus
May. 23rd, 2011 09:00 am (UTC)
Можно Вас попросить разобрать пример Вигнера с квантовой механикой? Вот этот:
Вторым примером является обычная, элементарная квантовая механика. Начало ей положил Макс Борн, заметив, что некоторые вычислительные приемы Гейзенберга формально совпадают с правилами матричного исчисления, давно известными математикам. Тогда Борн, Йордан и Гейзенберг предложили заменить значения координат и импульсов
классической механики матрицами 6. Пользуясь правилами матричной механики, они решили несколько в высшей степени идеализированных задач, и их результаты оказались вполне удовлетворительными. Однако в то время нельзя было привести никаких разумных аргументов в пользу того, что разработанная ими матричная механика может оказаться корректной и в более реалистических условиях. Они писали в то время так: «Если бы предложенная здесь механика оказалась правильной в своих существенных чертах, то...» Фактически первым применением их механики к реальной задаче — атому водорода была, спустя несколько месяцев, работа Паули. И это приложение дало результат, согласующийся с опытом. Это было неплохо, но все это еще можно было понять, поскольку правила вычисления Гейзенберга были непосредственным обобщением правил старой теории водородного атома. Чудо произошло лишь тогда, когда матричная механика или математически эквивалентная ей теория (Щрёдингера) была применена к задачам, для которых вычислительные правила Гейзенберга не имели смысла. Правила Гейзенберга предполагали существование решений классических уравнений движения, обладающих определенными свойствами периодичности; однако эти уравнения движения для двух электронов в атоме гелия и тем более для большего числа электронов в более тяжелых атомах попросту не обладают такими свойствами, и правила Гейзенберга к этим случаям не применимы. Тем не менее расчет низшего (основного) уровня гелия, выполненный несколько месяцев спустя Киношитой и Бейсли, согласовался с экспериментальными данными в пределах погрешности наблюдений, которая составляет менее одной десятимиллионной. В этом случае мы воистину «извлекли из этих уравнений нечто такое», чего мы в них «не закладывали».

Это, на первый взгляд, не укладывается в Вашу схему «изучаем наблюдаемые измеряемые явления, ищем закономерности и строим модели»?
(no subject) - antihydrogen - May. 23rd, 2011 10:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 24th, 2011 03:36 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - May. 24th, 2011 06:00 pm (UTC) - Expand
(no subject) - yurvor - May. 24th, 2011 04:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 24th, 2011 04:32 pm (UTC) - Expand
(no subject) - yurvor - May. 24th, 2011 05:58 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - May. 24th, 2011 06:06 pm (UTC) - Expand
antihydrogen
May. 23rd, 2011 10:23 am (UTC)
Вопрос, по существу, сводится к древнейшему: взойдет ли завтра Солнце? Ацтеки, помнится, испытывали деликатные сомнения, по сути весьма схожие с вигнеровскими. В наше же неблагодарное время, совершенное забывшее о принесенных ими ради эффективности математики жертвах, если с помощью модели, содержащей тридцать свободных параметров, удалось описать результаты нескольких миллионов экспериментов, то экспериментатор, делающий миллион первый эксперимент, скорее испытывает скепсис по поводу того, что он получит какие то отклонения от модели, чем наоборот.
cobetbi
May. 24th, 2011 02:07 pm (UTC)
Понравился камент. Про ацтеков поэтично.
and2u
May. 23rd, 2011 11:11 am (UTC)
С точки зрения радикального конструктивизма все тривиально: мы познаем только мир феноменов, а математика - чистая феноменология :-)
vasaku
May. 23rd, 2011 11:43 am (UTC)
У меня по поводу того что математические объекты часто встречаются в живой природе есть гипотеза что причина в том что так дешевле закодировать сложные структуры. По-моему это можно частично перенести на физику.

Чтобы кто-нибудь писал о необъективности исследуемых объектов не встречал, скорее наоборот стремятся от нее отпинаться.
janatem
May. 23rd, 2011 01:32 pm (UTC)
Удивляет эффективность математики?
Меня гораздо больше удивляет чрезвычайно низкая эффективность (как в смысле предсказательной способности, так и в смысле объяснительной силы) социологических, например, дисциплин.
dralkin
May. 23rd, 2011 04:30 pm (UTC)
Кактус так вопросы ставит.
Только я не знаю, физик ли он.
yurvor
May. 23rd, 2011 07:24 pm (UTC)
Я бы взглянул на это по-другому. А именно:

Математика - это всё то, что эффективно в естественных науках (в частности, физике).

Тогда никакой мистики не будет, никаких чудес, всё естественно :)
fregimus
May. 24th, 2011 03:56 pm (UTC)
http://fregimus.livejournal.com/152385.html?thread=4173889#t4173889

Значит, новая матричная механика не была математической теорией (вернее, никто не знал, математическая она или нет) до тех пор, пока не выяснилось, что она описывает возбужденный атом гелия. Я понимаю, но для меня слово «математика» имеет другой смысл.
(no subject) - yurvor - May. 24th, 2011 04:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 24th, 2011 04:21 pm (UTC) - Expand
(no subject) - yurvor - May. 24th, 2011 04:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 24th, 2011 04:37 pm (UTC) - Expand
(no subject) - yurvor - May. 24th, 2011 06:00 pm (UTC) - Expand
(no subject) - antihydrogen - May. 24th, 2011 06:38 pm (UTC) - Expand
lenivtsyn
May. 23rd, 2011 08:23 pm (UTC)
Не физик, увы, но, может быть, поможет точнее сформулиро
Один великий ученый - не физик, а естественник лишь отчасти, т.к. работал на стыке гуманитарных наук с биологией, заканчивая книгу - главный труд своей жизни, писал: "Остановит ли что-либо экспансию математики? Эта могучая волна может разбиться только об один утес: если будет научно доказана однократность объекта познания, в частности человеческой истории. Это знаменовало бы следующий, еще более высокий уровень разума" (Б.Ф.Поршнев, "О начале человеческой истории (проблемы палеопсихологии)").

Когда Вы сказали "Нет ведь такой штуки, как совсем уж объективные объекты мира", не однократность ли объекта познания (вообще, а не в частности) Вы под этим подразумевали?
fregimus
May. 24th, 2011 04:20 pm (UTC)
Re: Не физик, увы, но, может быть, поможет точнее сформули
Нет, не это. Я имел в виду именно то, что сказал: выделение объекта — человеческая работа, объект не существует вне выделяющего, вне теории, для которой он выделяется. Как этим будут заниматься, избегая совокуплять разнородное, сверхчеловеки на следующем, более высоком уровне разума, я даже фантазировать не могу.
(no subject) - fregimus - May. 24th, 2011 05:56 pm (UTC) - Expand
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
( 66 comments — Leave a comment )