?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Проще не скажешь

«…монада — моноидальный объект в категории эндофункторов: return — единица, а join — умножение. Проще этого и объяснить нельзя! Если это кажется запутанным, посмотрите на монаду как слабый функтор из терминальной бикатегории…»

Comments

( 15 comments — Leave a comment )
(Deleted comment)
fregimus
Jul. 13th, 2011 08:57 am (UTC)
Проще всегда можно. А вторая попытка объяснения вообще из серии «профессора понесло» — через производные и более сложные понятия.
(Deleted comment)
fregimus
Jul. 13th, 2011 09:30 am (UTC)
Не знаю. Это зависит от аудитории, от того, что читатель должен знать. Первая часть вполне имеет смысл. А начиная от «проще и объяснить нельзя» — уже лишнее. Извинения ни к чему, и проще не получилось.
realjouir
Jul. 13th, 2011 09:02 am (UTC)
Сразу вспоминается IgNobel Prize (2006 г.): профессор психологии из Принстона Дэниел Оппенгеймер доказал, что самые трудночитаемые тексты с засильем терминов плодят люди с низким IQ.
fregimus
Jul. 13th, 2011 09:55 am (UTC)
Во-во. «Проще и объяснить нельзя» здесь кое-что выдает.
lenivtsyn
Jul. 13th, 2011 09:03 am (UTC)
Действительно, проще не скажешь
> монада — моноидальный объект

idem per idem
potan
Jul. 13th, 2011 09:08 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
Ну для меня связь монад и моноидов до сих пор не очевидна.
plakhov
Jul. 13th, 2011 09:33 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
консервы, консерватор, консерватория
lenivtsyn
Jul. 13th, 2011 09:37 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
По-видимому, я здесь просто сел в лужу. Я вообще ничего не слышал о моноидах и подумал, что "моноидальный" - производное от "монады".
fregimus
Jul. 13th, 2011 09:54 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
От «монады» прилагательное «монадический». Не так, как «вода» — «водный», а с латинским суффиксом -ic- через monadic, как«эпос» — «эпический» и т. п.
lenivtsyn
Jul. 13th, 2011 10:24 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
Спасибо.
fregimus
Jul. 13th, 2011 09:43 am (UTC)
Re: Действительно, проще не скажешь
Если с точки зрения программирования на функциональных языках, то поищите лекцию Бекмана (Beckman) о монадах. Она чуть больше часа, но он разбирает все до дна — никакого знакомства с теорией категорий не требуется.

Кажется, вот она: http://channel9.msdn.com/Shows/Going+Deep/Brian-Beckman-Dont-fear-the-Monads
huzhepidarasa
Jul. 13th, 2011 05:43 pm (UTC)
Пишу больше для себя.
Что такое моноид, все знают. Это когда мы умеем умножать и брать единицу. То есть из пары чегототам (т.е. из элемента декартова квадрата) получать одно чегототам, и из ничего получать одно чегототам, при выполнении известных соотношений.

Моноидальная категория C — это категория, оборудованная бифунктором ⊗ : C × C → C и объектом I, служащим единицей для этого бифунктора, с точностью до естественного изоморфизма, опять при выполнении очевидных соотношений (ассоциативность и проч.)

Например, Set — моноидальная категория, в которой ⊗ — декартово произведение ×, а I — одноэлементное множество {0}. Например, К-Vect (К — поле) — моноидальная категория, в которой ⊗ — тензорное произведение, а I — одномерное пространство над К (или (notation abuse) просто К). Например, Ab — моноидальная категория, в которой ⊗ — опять тензорное произведение, а I — это Z. Вообще любая категория с конечными произведениями (или копроизведениями) моноидальна.

Внимание, начинается вывих мозга.

Моноид на моноидальной категории (C,⊗,I) — это объект M, оборудованный морфизмами μ: M ⊗ M → M (умножением) и η: I → M (единицей). Не путать M, μ и ⊗! Например, моноид на категории Set (точнее, (Set,×,{0}) — это обычный моноид, про который все знают. То есть объект S из Set (множество), оборудованный умножением (помните, функцией из мн-ва пар, т.е. из S×S, в S) и единицей (функцией из как бы ничего, т.е. из одноэлементного мн-ва, в S). Например, моноид на (K-Vect,⊗,К) — это K-алгебра. Например, моноид на (Ab,⊗,Z) — это кольцо.

Пусть есть категория C. Категория эндофункторов в C моноидальна (⊗ — композиция, I — тождественный функтор). Моноид на этой категории называется монадой.

И что, спрашивается, может быть проще?
pilot_pirx
Jul. 13th, 2011 10:38 am (UTC)
Вот самое доступное объяснение, которое мне встречалось: http://www.abitura.com/mathematics/arnold_2.htm
fregimus
Jul. 13th, 2011 08:44 pm (UTC)
Замечательная лекция, спасибо. Правда, там очень частный случай рассматривается.
huzhepidarasa
Jul. 14th, 2011 02:25 pm (UTC)
Там не частный случай, там просто совершенно другой объект. Арнольд никак не мог рассматривать частный случай чего бы то ни было из теории категорий.
( 15 comments — Leave a comment )