?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Прежде, чем вы начнете читать этот текст, я попрошу вас ответить на два простых вопроса, не заглядывая в другие ответы. Первый: по каким траекториям обращаются планеты вокруг Солнца? Второй: что такое парабола? Если вам удобно, оставьте ваши ответы, мне будет интересно, угадал я их или нет; отвечать на них не обязательно, но обязательно, чтобы ответы были честными: до прочтения текста и комментариев. Правильного ответа на них нет; это вопросы о вашей интуиции, а правильной интуиции, само собой, быть не может. А разговор наш будет именно об истории астрономической и математической (в приложении к небесной механике) интуиции, и о ее возможном дальнейшем развитии.

Идея сопоставления пяти планет, известных еще в древности, пяти правильным многогранникам, восходит еще к пифагорейцам. Небесные сферы, по их представлениям, были отделены друг от друга одним из этих пяти многогранников, описанным вокруг предыдущей и вписанным в следующую. Никакого конкретного геометрического развития эта идея, насколько я знаю, не получила.

Греческая философия крутила планеты вокруг Земли по идеально сферическим орбитам. Геометрическая интуиция греков не позволяла небесным телам следовать путями менее совершенными, нежели идеальные круги. Доктрина сферического движения закреплена платоновой школой. Евдокс Книдский построил модель из 27 небесных сфер, вращающихся вдоль одной из осей каждая (о том, что Платон и его последователи, видимо, не представляли себе возможности соединения трех вращений в одной сфере, я уже писал). Аристотель дополнил эту модель еще сферами-«вкладышами», лежащими между планетарными сферами — то ли для того, чтобы вращение внешних сфер не захватывало внутренние, то ли для заполнения нетерпимой природою пустоты, увеличив их число до 56. По Аристотелю, внешняя крутящаяся сфера звезд передает каким-то образом движение подлежащим сферам.

Переработанная эпициклическая модель Солнечной системы была описана Птолемеем, жившим на полтысячелетия позже, когда накопившиеся данные наблюдений потребовали более точной модели небесной механики. Птолемеева система построена в той же парадигме Аристотелевой школы: круговых движениях и постоянстве угловых скоростей. Планета движется равномерно по круговой орбите, называемой эпициклом, центр которой, в свою очередь, описывает бо́льшую орбиту вокруг центра, именуемого деферентом. Деферент находится несколько в стороне от Земли. Угловые же скорости планет, наблюдаемые как с Земли, так из точки деферента, не постоянны. В модели имеется другая точка, называемая эквантом, точкой постоянных скоростей. Наблюдаемая из экванта скорость планеты постоянна. Эквант находится по другую сторону Земли от деферента. В Птолемеевой модели Земля находится на середине отрезка, соединяющего эквант и деферент (Тихо предлагал уточненную модель, где Земля делит отрезок в отношении 3:2, так что деление пополам не является необходимым точным условием). Деферент и эквант для каждой планеты свои, как свое и отношение диаметров эпицикла и большой орбиты.

Итак, греческая интуиция небесной механики (как пифагорейская, так и платоническая) позволяет планетам крутиться по идеально круговым орбитам. Обратите внимание, что греческие модели объединяет одно: хоть они и собирают в геометрическую систему, с той или иной степенью точности, известные данные наблюдений, но никаких попыток объяснения работы этой системы или причин такового ее устройства они не дают. Мне, во всяком случае, найти их не удалось.

Птолемеева система содержит в себе одну закавыку. Видимая скорость движения планет постоянна, если смотреть на планеты из точки экванта. Если мы представим себе сферы реально существующими — а Аристотель так и считал — то объяснить этот факт механически невозможно. Как греки умещали в голове этот факт, мне тоже неизвестно. Существует, однако, одна арабская модификация системы Птолемея, где центр эпицикла планеты приделан к особой системе рычагов, шарнирно закрепленных в центре вращения и в экванте. Эта механика регулирует скорость планеты в точном соответствии с Птолемеевой моделью, ежели рычаг, закрепленный в экванте, вращается с постоянной скоростью. Таким образом, оба требования к совершенству движения, а именно круговая траектория и постоянная скорость, соблюдаются. Любопытно здесь, повторюсь, то, что в греческом майнстриме эта идея не прослеживается, несмотря на высокое развитие механики в греческом мире.

Коперника тоже беспокоила неприятность с эквантом. Именно она, по всей видимости, послужила толчком к разработке им гелиоцентрической системы. Нужно сказать, что сама гелиоцентрическая идея тоже существовала у греков;те же самые пифагорейцы не помещали Землю в центр мира (в центре находился некий «невидимый огонь»), впрочем, и структура с Солнцем в серединке тоже была описана. Коперник тщательно обрабатывал известные таблицы движения планет, вычисляя для каждой из них гелиоцентрическую траекторию. Первоначально он положил для каждой планеты по одному эпициклу, как в модели Птолемея, но, по мере уточнения, эпициклы пришлось добавлять. В законченном виде система была не менее точна, чем Птолемеева, но число циклов увеличилось до примерно 40. Коперник не расстался с идеей ни идеально кругового, ни в точности равномерного движения. Перелома астрономической интуиции мы не увидим и здесь.

Большим достижением системы Коперника явилось то, что она распределила планеты в пространстве. Птолемеева система содержит, как мы теперь скажем, произвольный масштабный фактор, так что она совершенно не предсказывает ни относительных расстояний между планетами, ни даже взаимного расположения их орбит. Коперник же выстроил планеты в хорошо известном нам порядке.

Первым человеком, перешагнувшим через рамки греческой догмы кругового движения с постоянной скоростью был, как это ни казалось бы странным, мистик-астролог, последовательный пифагореец Кеплер. В своем раннем трактате он наконец построил количественную гелиоцентрическую модель пифагорейской солнечной системы, гармонии сфер, основанной на платоновых многогранниках. Между сферами Меркурия и Венеры он вписал октаэдр; Венеру и Землю разделил икосаэдром; между Землей и Марсом расположил додекаэдр; отделил сферы Марса и Юпитера тетраэдром; наконец, между Юпитером и Сатурном вписал куб. Хоть система и оставляла желать лучшего в смысле точности, Кеплер не отказывался от нее в течение всей жизни.

В более поздних мистических работах, тем не менее, Кеплер «очистил» Коперникову систему от эпициклов, отказавшись от круговых орбит, и запустив вместо того планеты путешествовать по эллипсам. В различных трактатах, между сомнительными астрологическими построениями, оказались запрятаны три гениальных соотношения, известные нам сегодня как законы Кеплера. Система Кеплера не требует каких-либо эпициклов и, по сути, является той картиной солнечной системы, какую изучают сегодня в школе.

Замечательный шаг Кеплера, предопределивший перелом в астрономической интуиции, оставался безвестным еще едва ли не столетие, до тех пор, пока Ньютон не извлек на свет божий трех законов, открытых Кеплером, назвав их его именем. Именно с Ньютона мы можем отметить качественное изменение интуиции в нескольких областях знания: в математике это переход от геометрической интуиции к аналитической, а в астрономии отказ от греческих идеальных движений в пользу эллиптических с переменной скоростью. Именно эти интуитивные представления доминируют и в наше время.

На вопросы, заданные мною в начале этого текста, вы ответили, скорее всего, что орбита планеты является эллипсом, а парабола — график квадратичной функции. В старой, греческой интуиции парабола была бы коническим сечением. А к альтернативе интуиции эллипса мы сейчас как раз переходим.

Мне кажется, что наша система знаний подходит сейчас к следующему интуитивному перелому. Основы этому заложил Пуанкаре. Рассматривая задачу трех тел, он установил квазипериодическое движение в такой системе. Нужно сказать, что система многих тел чаще всего нестабильна, и, строго говоря, не удовлетворяет определению хаотической системы: фазовые орбиты ее расходящиеся. Тем не менее, поведение, например, Солнечной системы достаточно близко к хаотическому на протяжении многих миллионов или миллиардов обращений фазовой траектории; такую систему можно было бы назвать квазихаотической.

Со времен Пуанкаре мы понимаем, что математический, детерминированный хаос — доминирующее состояние большинства динамических систем. Тем не менее, новой интуиции, происходящей из этого понимания, пока еще не возникает. Причина мне видится в том, что, в отличие от ньютоновского перелома, когда появился новый инструмент для описания физического мира, а именно, исчисление бесконечно малых, нового столь же универсального инструмента для анализа хаотических систем пока еще нет.

*  *  *

Вероятно, новая интуиция могла бы быть основана на хаотической динамике. Сегодня почти каждый ответит на вопрос о форме орбиты планеты, что это эллипс. Так скажут даже физики и астрономы, прекрасно осознавая, что траектория эта на самом деле довольно плотная квазипериодическая, никогда не повторяющаяся завитушка, лишь приближающаяся к идеальному эллипсу. Да, точность этого приближения довольно высока, но мы же говорим не о расчете, а об интуиции! Как мы представляем себе орбиту: эллипсом или хаотической кривой? Перелом я ожидаю от первого представления к последнему.

Какого же инструмента, подобного по силе исчислению Лейбница-Ньютона, нам не хватает?Этого я даже не могу вообразить. Конечно, идеальным мне видится математический аппарат анализа хаотической динамики, в котором дифференциальные уравнения имели бы аналитические решения, а многие интегралы бы брались в более-менее явном виде. Возможно ли преобразование фазового пространства системы многих тел, после которого эти условия были бы соблюдены, да так, чтобы интегралы получались не сложнее для осознания, чем эллиптические решения Ньютоновой задачи двух тел? Не знаю, но очень хотелось бы. Такая математика была бы применима далеко за пределами хаотической небесной механики. Вполне возможно, что она бы позволила нам иначе, количественно взглянуть на многие системные вещи: лингвистику, социологию, антропологию, историю, нейрологию… Я ожидаю возврата, возрождения кибернетики как строгой количественной науки, оперирующей этими новыми аналитическими объектами — решениями уравнений хаотической динамики так же легко, как Ньютонова механика оперирует простыми движениями.

Каким образом может развиться такой анализ хаотических решений? Не представляю. Тут, друзья-математики, все карты в ваших руках. Что вы об этом думаете? Не сдерживайте своей фантазии понапрасну. Давайте попробуем представить, на основе каких существующих теорий возможно построение такого устройства.

Comments

( 117 comments — Leave a comment )
Page 1 of 4
<<[1] [2] [3] [4] >>
stoshagownozad
Oct. 18th, 2011 07:53 am (UTC)
приблизительно по эллиптическим

кривая, которой в декартовых координатах представляется рещение квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0
stoshagownozad
Oct. 18th, 2011 09:15 am (UTC)
ой, не решение, решение в тосках пересечения с осью ОХ (Y где равен нулю), а это кривая самой функции, конечно...
(no subject) - fregimus - Oct. 18th, 2011 09:24 am (UTC) - Expand
hari_tc
Oct. 18th, 2011 07:58 am (UTC)
Я весьма скудно представляла себе эти орбиты как такие неопределенные овалы, про которые я ничего не знаю. Теперь пойду читать текст. :)
aamonster
Oct. 18th, 2011 08:03 am (UTC)
Чтобы имело смысл говорить о хаотических решениях - надо рассматривать орбиту на протяжении _очень большого_ времени. Не уверен, что это интересно.
fregimus
Oct. 18th, 2011 09:28 am (UTC)
Ну я же говорю о первом интуитивном представлении. Само саобой разумеется, это все так, и С. С. предсказуема на миллионы лет вперед. Но, тем не менее, тут можно помыслить и иной подход — противоположный современному — когда хаотичность подразумевается в первую очередь, а потом разумно делается упрощение до эллипса, если требуется короткое время и т. д. То есть, разница в том, что мы берем без мысленных усилий, а что стесывается или прикручивается разумом далее.
(no subject) - aamonster - Oct. 18th, 2011 10:06 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 19th, 2011 01:20 am (UTC) - Expand
ayanapa
Oct. 18th, 2011 08:15 am (UTC)
планеты обращаются по траекториям близким к круговым

парабола - график функции вида y=a+x в квадрате, хотя, возможно, это гипербола
v_s_c
Oct. 18th, 2011 08:23 am (UTC)
Re: оставьте ваши ответы
1. Орбиты планет - с хорошей точностью эллипсы, если пренебречь влиянием планет друг на друга. Взаимное влияние учитывают как малое возмущение, если я правильно понимаю, тогда получаются достаточно сложные кривулины.

2. Парабола - плоская кривая, которую можно описать формулой y=x*x в декартовой системе координат.
v_s_c
Oct. 18th, 2011 08:31 am (UTC)
Re: y=x*x
Подумал, что y=k*x*x лучше. Чтобы масштабы по обеим осям были одинаковыми. ;-)
timur0
Oct. 18th, 2011 08:30 am (UTC)
1. планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам (если пренебречь взаимными возмущениями орбит), Солнце находится в одном из фокусов.
2. парабола - кривая, получающаяся сечением кругового конуса плоскостью, параллельной оси конуса.
timur0
Oct. 18th, 2011 08:58 am (UTC)
блин, во втором случае перепутал - параллельной одной из образующих :-(
fat_crocodile
Oct. 18th, 2011 08:31 am (UTC)
хм, я параболу через расстояние до точки и прямой определил.
omkh
Oct. 18th, 2011 08:47 am (UTC)
- примерно по эллиптическим
- сечение конуса параллельное его.. хм, ну как бы его боковой стороне.
chingachguk
Oct. 18th, 2011 08:47 am (UTC)
планеты по эллипсоидной орбите, парабола y = xквадрат
dimrub
Oct. 18th, 2011 09:01 am (UTC)
1. По эллиптическим (с солнцем в одном из фокусов).
2. График полиномиальной функции второй (или четной?) степени.
togo
Oct. 18th, 2011 09:06 am (UTC)
1. по эллипсам
2. точки равноудалённые от фокуса и от некоторой прямой
cobetbi
Oct. 18th, 2011 09:09 am (UTC)
Ну я математик так-то. Но прям всё сразу рассказывать не буду. Иначе ведь можно украсть, заработать потом трилиарды, а про меня даже не вспомнить потом. Но всё-таки сдержаться трудно, расскажу кое-что, наверно.

Мне казалось среди многочисленных заслуг Ньютона не было признания астрономии Кеплера. Я уже не помню точно, но мне казалось, что задолго до Ньютона эллипсы были приняты. Могу путать, это не суть важно. Главное, у Ньютона - это конечно же принятие понятия бесконечности. Для греков не было ничего страшнее. Бесконечность для них была синонимом непонинимаемости. А после Ньютона у нас бесконечность это самый распространённый математический объект. На нём же всё основано - все непрерывности, диференциируемости, интегрируемости. А на этом построены все современные науки, вся физика и всё прочее. Ну и я заметил бы ещё, что Ньютон не просто так с нуля взял и отказался считать бесконечность чем-то непонятным. К этому всё со всех сторон сходилось. Сходные мысли тогда давно уже всеми высказывались.

От слова "хаос" у меня нет никакого ожидания ничего вообще. В этом разделе нет вообще ничего философского. Вроде там какой-то заурядный раздел матанов-функанов.

Есть у меня подозрение, что у вас вообще в этом месте неправильно картинка складывается. Если говорить про вот это вот базовое интуитивное понимание самого этого действа - математического описания мира. Тут, скажу ещё раз, абсолютно ничего нет интересного, кроме торжественного звучания слова("ХАОС"). Нет никакой новой интуиции, нет вообще ничего нового в "теориях хаосов".

Я бы вот совсем другое и подругому выделил. Я бы выделил точку в развитии, которая реально стала какой-то точкой супер-гипер-сингулярности. Ньютон ещё считал, что он открывает единственно истинный божественный замысел мироздания. Это уже была не магическая уверенность в божественном совершенстве кругов, но суть ещё оставалась почти та же. Постепенно после него сомнения в этом закрадывались. В единственной божественной истине, открываемой наукой. Точку ту самую здесь поставил Лобачевский. Нет никаких истин, никаких "совершенных божественных форм". Последним оплотом священных истин, была конечно, геометрия Евклида. И вот Лобачевский взял её и опроверг как бы. А вот докажите мне, говорит, что сумма углов треугольника 180! Говорите, что геометрия красивая-совершенная?! Так и у меня посмотрите пожалуйста, такая же вся совершенная, но нихрена не 180 у меня.

Вот это была реально революция ни с чем не сравнимая. В философии науки. Во многом Эйнштейн просто продолжил Лобачевского. Объяснил всё хитрой геометрией мира, подогнав под удобные уравнения. Кстати, у нас же щас считается ТО основной научной общепринятой картиной мира. А представляя ТО-картину мира, трудно увидеть в этом мире элипсы. Так, если чисто интуитивно пытаться попредставлять в общих чертах стандартные общепринятые картинки мира.

В конце вы пишете, что вся надежда на какие-то правильные интегралы. Не, это мелко. Интегралы - мелкая штука. Меры, метрические пространства с операторами, интегралы, ... Всё это старинное уже. По духу то же, что и при Ньютоне (Хотя по форме изменилось до неузнаваемости). Не найти ни в каких интегралах никакой новой философии.

Ух, как хорошо. Устал писать. Не выдам никаких секретных сведений про будущие революционные суперинструменты в математике.
cobetbi
Oct. 18th, 2011 09:26 am (UTC)
А параболу бы определил через растояния до прямой. Не помню точно как, вспоминал бы.

Интересно вот ещё, как люди определяли бы синус. Наверняка 99% рассказали бы заученный в школе стишок про катеты и гупотенузы.

А синус и косинус это вот что. Это абсолютно любые какие-угодно две функции f и g, удовлетворяющие пяти простым условиям:
1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x), для любых x и y;
2)g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y), для любых x и y;
3)f2(x)+g2(x)=1, для любого x;
4)f(0)=0, g(0)=1, f(pi/2)=1, g(pi/2)=0;
5)0<f(x)<x<f(x)/g(x), если 0<x<pi/2; Если условия выполняются, то ф и г - это и есть синус и косинус. Те, старинные синусы в углах - это ничтожно маленькая штучка, в сравнении с вот этими, используемыми повсеместно во всех матемтиках настоящими синусам и косинусами. Вот здесь вот, кстати, очень интересный вопрос тоже. Про определения матобъектов.
(no subject) - randomisator - Oct. 18th, 2011 09:56 am (UTC) - Expand
Было - cobetbi - Oct. 18th, 2011 10:03 am (UTC) - Expand
(no subject) - mimohod - Oct. 18th, 2011 10:39 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 11:03 am (UTC) - Expand
(no subject) - secondary_tea - Oct. 23rd, 2011 04:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - mimohod - Oct. 23rd, 2011 05:09 pm (UTC) - Expand
(no subject) - secondary_tea - Oct. 24th, 2011 11:44 am (UTC) - Expand
(no subject) - mimohod - Oct. 24th, 2011 12:26 pm (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 18th, 2011 11:42 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 05:29 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 19th, 2011 08:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 08:15 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 19th, 2011 08:18 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 08:34 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 19th, 2011 08:44 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 09:43 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 10:09 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 10:26 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 19th, 2011 10:39 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 20th, 2011 06:31 am (UTC) - Expand
(no subject) - janatem - Oct. 18th, 2011 02:12 pm (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 05:32 am (UTC) - Expand
(no subject) - janatem - Oct. 19th, 2011 08:15 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 08:23 am (UTC) - Expand
(no subject) - pphantom - Oct. 19th, 2011 07:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 20th, 2011 03:42 am (UTC) - Expand
(no subject) - pphantom - Oct. 20th, 2011 08:00 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 09:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - morryson - Oct. 18th, 2011 10:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - janatem - Oct. 18th, 2011 02:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 05:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - janatem - Oct. 19th, 2011 08:30 am (UTC) - Expand
(no subject) - cobetbi - Oct. 19th, 2011 08:48 am (UTC) - Expand
fox_in_the_boat
Oct. 18th, 2011 09:09 am (UTC)
наверное, траектории расположены на поверхности вытянутой сферы (кажется, это называется эллипсоид?) и являются эллипсами, стремящимися перейти в спирали.

а парабола - это бесконечная линия с точкой изгиба неподалёку от точки пересечения двух прямых. в точке изгиба линия перпендикулярна лучу, выходящему из точки пересечения прямых. а дальше (вправо и влево от точки изгиба) линия постепенно изгибается так, чтбы её правая и левая половины бесконечно приближались соответственно к одной и другой из пересекающихся прямых, никогда не пересекая их.
vas_s_al
Oct. 18th, 2011 09:22 am (UTC)
1. Эллиптическим. Эллипс - это фигура, составленная из всех точек, удовлетворяющих условию: сумма расстояний от каждой точки до фокусов эллипса всегда одинакова. Фокусов у эллипса два. В одном из них находится солнце.

2. Парабола - график функции вида У=A*Х^2+B, где а и б - какие-то числа, х - аргумент.
_taat_
Oct. 18th, 2011 09:28 am (UTC)
Ой, как Вы меня заинтриговали...
1) Движутся по эллиптическим орбитам.
2) Парабола - одно из конических сечений, уравнение описывается формулой "икс в степени 2n", кажется.
Это то, что я помню без поисковиков и справочника :)
А теперь пошла читать!
Page 1 of 4
<<[1] [2] [3] [4] >>
( 117 comments — Leave a comment )