?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Прежде, чем вы начнете читать этот текст, я попрошу вас ответить на два простых вопроса, не заглядывая в другие ответы. Первый: по каким траекториям обращаются планеты вокруг Солнца? Второй: что такое парабола? Если вам удобно, оставьте ваши ответы, мне будет интересно, угадал я их или нет; отвечать на них не обязательно, но обязательно, чтобы ответы были честными: до прочтения текста и комментариев. Правильного ответа на них нет; это вопросы о вашей интуиции, а правильной интуиции, само собой, быть не может. А разговор наш будет именно об истории астрономической и математической (в приложении к небесной механике) интуиции, и о ее возможном дальнейшем развитии.

Идея сопоставления пяти планет, известных еще в древности, пяти правильным многогранникам, восходит еще к пифагорейцам. Небесные сферы, по их представлениям, были отделены друг от друга одним из этих пяти многогранников, описанным вокруг предыдущей и вписанным в следующую. Никакого конкретного геометрического развития эта идея, насколько я знаю, не получила.

Греческая философия крутила планеты вокруг Земли по идеально сферическим орбитам. Геометрическая интуиция греков не позволяла небесным телам следовать путями менее совершенными, нежели идеальные круги. Доктрина сферического движения закреплена платоновой школой. Евдокс Книдский построил модель из 27 небесных сфер, вращающихся вдоль одной из осей каждая (о том, что Платон и его последователи, видимо, не представляли себе возможности соединения трех вращений в одной сфере, я уже писал). Аристотель дополнил эту модель еще сферами-«вкладышами», лежащими между планетарными сферами — то ли для того, чтобы вращение внешних сфер не захватывало внутренние, то ли для заполнения нетерпимой природою пустоты, увеличив их число до 56. По Аристотелю, внешняя крутящаяся сфера звезд передает каким-то образом движение подлежащим сферам.

Переработанная эпициклическая модель Солнечной системы была описана Птолемеем, жившим на полтысячелетия позже, когда накопившиеся данные наблюдений потребовали более точной модели небесной механики. Птолемеева система построена в той же парадигме Аристотелевой школы: круговых движениях и постоянстве угловых скоростей. Планета движется равномерно по круговой орбите, называемой эпициклом, центр которой, в свою очередь, описывает бо́льшую орбиту вокруг центра, именуемого деферентом. Деферент находится несколько в стороне от Земли. Угловые же скорости планет, наблюдаемые как с Земли, так из точки деферента, не постоянны. В модели имеется другая точка, называемая эквантом, точкой постоянных скоростей. Наблюдаемая из экванта скорость планеты постоянна. Эквант находится по другую сторону Земли от деферента. В Птолемеевой модели Земля находится на середине отрезка, соединяющего эквант и деферент (Тихо предлагал уточненную модель, где Земля делит отрезок в отношении 3:2, так что деление пополам не является необходимым точным условием). Деферент и эквант для каждой планеты свои, как свое и отношение диаметров эпицикла и большой орбиты.

Итак, греческая интуиция небесной механики (как пифагорейская, так и платоническая) позволяет планетам крутиться по идеально круговым орбитам. Обратите внимание, что греческие модели объединяет одно: хоть они и собирают в геометрическую систему, с той или иной степенью точности, известные данные наблюдений, но никаких попыток объяснения работы этой системы или причин такового ее устройства они не дают. Мне, во всяком случае, найти их не удалось.

Птолемеева система содержит в себе одну закавыку. Видимая скорость движения планет постоянна, если смотреть на планеты из точки экванта. Если мы представим себе сферы реально существующими — а Аристотель так и считал — то объяснить этот факт механически невозможно. Как греки умещали в голове этот факт, мне тоже неизвестно. Существует, однако, одна арабская модификация системы Птолемея, где центр эпицикла планеты приделан к особой системе рычагов, шарнирно закрепленных в центре вращения и в экванте. Эта механика регулирует скорость планеты в точном соответствии с Птолемеевой моделью, ежели рычаг, закрепленный в экванте, вращается с постоянной скоростью. Таким образом, оба требования к совершенству движения, а именно круговая траектория и постоянная скорость, соблюдаются. Любопытно здесь, повторюсь, то, что в греческом майнстриме эта идея не прослеживается, несмотря на высокое развитие механики в греческом мире.

Коперника тоже беспокоила неприятность с эквантом. Именно она, по всей видимости, послужила толчком к разработке им гелиоцентрической системы. Нужно сказать, что сама гелиоцентрическая идея тоже существовала у греков;те же самые пифагорейцы не помещали Землю в центр мира (в центре находился некий «невидимый огонь»), впрочем, и структура с Солнцем в серединке тоже была описана. Коперник тщательно обрабатывал известные таблицы движения планет, вычисляя для каждой из них гелиоцентрическую траекторию. Первоначально он положил для каждой планеты по одному эпициклу, как в модели Птолемея, но, по мере уточнения, эпициклы пришлось добавлять. В законченном виде система была не менее точна, чем Птолемеева, но число циклов увеличилось до примерно 40. Коперник не расстался с идеей ни идеально кругового, ни в точности равномерного движения. Перелома астрономической интуиции мы не увидим и здесь.

Большим достижением системы Коперника явилось то, что она распределила планеты в пространстве. Птолемеева система содержит, как мы теперь скажем, произвольный масштабный фактор, так что она совершенно не предсказывает ни относительных расстояний между планетами, ни даже взаимного расположения их орбит. Коперник же выстроил планеты в хорошо известном нам порядке.

Первым человеком, перешагнувшим через рамки греческой догмы кругового движения с постоянной скоростью был, как это ни казалось бы странным, мистик-астролог, последовательный пифагореец Кеплер. В своем раннем трактате он наконец построил количественную гелиоцентрическую модель пифагорейской солнечной системы, гармонии сфер, основанной на платоновых многогранниках. Между сферами Меркурия и Венеры он вписал октаэдр; Венеру и Землю разделил икосаэдром; между Землей и Марсом расположил додекаэдр; отделил сферы Марса и Юпитера тетраэдром; наконец, между Юпитером и Сатурном вписал куб. Хоть система и оставляла желать лучшего в смысле точности, Кеплер не отказывался от нее в течение всей жизни.

В более поздних мистических работах, тем не менее, Кеплер «очистил» Коперникову систему от эпициклов, отказавшись от круговых орбит, и запустив вместо того планеты путешествовать по эллипсам. В различных трактатах, между сомнительными астрологическими построениями, оказались запрятаны три гениальных соотношения, известные нам сегодня как законы Кеплера. Система Кеплера не требует каких-либо эпициклов и, по сути, является той картиной солнечной системы, какую изучают сегодня в школе.

Замечательный шаг Кеплера, предопределивший перелом в астрономической интуиции, оставался безвестным еще едва ли не столетие, до тех пор, пока Ньютон не извлек на свет божий трех законов, открытых Кеплером, назвав их его именем. Именно с Ньютона мы можем отметить качественное изменение интуиции в нескольких областях знания: в математике это переход от геометрической интуиции к аналитической, а в астрономии отказ от греческих идеальных движений в пользу эллиптических с переменной скоростью. Именно эти интуитивные представления доминируют и в наше время.

На вопросы, заданные мною в начале этого текста, вы ответили, скорее всего, что орбита планеты является эллипсом, а парабола — график квадратичной функции. В старой, греческой интуиции парабола была бы коническим сечением. А к альтернативе интуиции эллипса мы сейчас как раз переходим.

Мне кажется, что наша система знаний подходит сейчас к следующему интуитивному перелому. Основы этому заложил Пуанкаре. Рассматривая задачу трех тел, он установил квазипериодическое движение в такой системе. Нужно сказать, что система многих тел чаще всего нестабильна, и, строго говоря, не удовлетворяет определению хаотической системы: фазовые орбиты ее расходящиеся. Тем не менее, поведение, например, Солнечной системы достаточно близко к хаотическому на протяжении многих миллионов или миллиардов обращений фазовой траектории; такую систему можно было бы назвать квазихаотической.

Со времен Пуанкаре мы понимаем, что математический, детерминированный хаос — доминирующее состояние большинства динамических систем. Тем не менее, новой интуиции, происходящей из этого понимания, пока еще не возникает. Причина мне видится в том, что, в отличие от ньютоновского перелома, когда появился новый инструмент для описания физического мира, а именно, исчисление бесконечно малых, нового столь же универсального инструмента для анализа хаотических систем пока еще нет.

*  *  *

Вероятно, новая интуиция могла бы быть основана на хаотической динамике. Сегодня почти каждый ответит на вопрос о форме орбиты планеты, что это эллипс. Так скажут даже физики и астрономы, прекрасно осознавая, что траектория эта на самом деле довольно плотная квазипериодическая, никогда не повторяющаяся завитушка, лишь приближающаяся к идеальному эллипсу. Да, точность этого приближения довольно высока, но мы же говорим не о расчете, а об интуиции! Как мы представляем себе орбиту: эллипсом или хаотической кривой? Перелом я ожидаю от первого представления к последнему.

Какого же инструмента, подобного по силе исчислению Лейбница-Ньютона, нам не хватает?Этого я даже не могу вообразить. Конечно, идеальным мне видится математический аппарат анализа хаотической динамики, в котором дифференциальные уравнения имели бы аналитические решения, а многие интегралы бы брались в более-менее явном виде. Возможно ли преобразование фазового пространства системы многих тел, после которого эти условия были бы соблюдены, да так, чтобы интегралы получались не сложнее для осознания, чем эллиптические решения Ньютоновой задачи двух тел? Не знаю, но очень хотелось бы. Такая математика была бы применима далеко за пределами хаотической небесной механики. Вполне возможно, что она бы позволила нам иначе, количественно взглянуть на многие системные вещи: лингвистику, социологию, антропологию, историю, нейрологию… Я ожидаю возврата, возрождения кибернетики как строгой количественной науки, оперирующей этими новыми аналитическими объектами — решениями уравнений хаотической динамики так же легко, как Ньютонова механика оперирует простыми движениями.

Каким образом может развиться такой анализ хаотических решений? Не представляю. Тут, друзья-математики, все карты в ваших руках. Что вы об этом думаете? Не сдерживайте своей фантазии понапрасну. Давайте попробуем представить, на основе каких существующих теорий возможно построение такого устройства.

Comments

cobetbi
Oct. 19th, 2011 05:49 am (UTC)
Да я шучу, нет никаких секретных мегаинструментов. Мыслей много есть. Особенно когда учился много было разных.

Например, мне когда-то казалась гениальной такая мысль. Позже думал, что она всем очевидна. Но тем не менее, ни у кого, вроде, не встречал её. Объяснить её ещё непросто, там легко очень понять неправильно. Смысл в том, что главным базовым объектом в математике взять не множество, а язык. То есть, говорим, например, что не "это вот это, потому что оно куда-то входит". А "это вот это, потому что оно описывается таким-то языком". Тут как бы сразу видно, что описание вхождением в множества является лишь частным случаем. Ну и вот в эту сторону раньше любил философствовать в свободное от более полезных дел время. Все эти языки разные, свойства их, "пространства" языков, которые уже никакие не пространства, а новые языки и т.д.

Или вот ещё тоже не сильно хитрая идея. Развитие математики же ещё наиболее ярко можно представить в виде разрешения противоречий. Известно. В первобытных обществах числа только натральные. У греков дроби были, но кучи действительных чисел не было. Соответственно "задача не имеет решения" приходилось говорить очень часто. Потом, в европе вроде ещё в средние века появились комплексные числа. До этого очень-очень часто приходилось говорить "нет решения". Теперь всё решалось, даже корень из минуса. Но вот каким-то странным образом с отрицательными числами были психологические проблемы вплоть до 20го века. Какой-то даже великий математик там говорил, что это не числа, они плохие и ненастоящие.

И вот. Где нам будущее математики искать? Да там же и искать. В противоречиях такого характера. В том, что сегодня "не имеет решения", "не имеет смысла". А я бы ещё такую глобальную мегаидею предложил. Вообще, взять и принять сразу все любые противоречия. Какие-нибудь "пространства противоречий" изучать.
janatem
Oct. 19th, 2011 08:30 am (UTC)
Идею о том, что математика — это лишь язык (в смысле набора символов и операций манипулирования ими), я впервые услышал от людей, занимающихся метавычислениями. В наиболее радикальной формулировке утверждалось, что кроме языке в ней вообще ничего нет. Из философских соображений я склонен отвергнуть радикальную формулировку, поскольку математические инструменты позволяют не только «доказывать», но и понимать (слово «понимать» можно понимать в разных смыслах, но здесь почти все смыслы подходят).

По поводу «разрешать противоречия» я бы выразился точнее — наделять смыслом то, что раньше смысла не имело. Такого рода деятельность происходит и в современности. Например, есть такой раздел анализа, который занимается приписыванием смысла значению суммы заведомо расходящихся рядов, это называется регуляризацией. Уже накоплена куча способов регуляризации, и наверняка можно придумать новые, более сильные. (Кажется, где-то в физике это востребовано.)
cobetbi
Oct. 19th, 2011 08:48 am (UTC)
Да, регуляризация - это офигенно. Но я в каком-то философском плане говорил про противоречия. Не продолжать многотысячелетнее движение разрешения противоречий вводом новых матобъектов, расширением. А как-то совсем по-другому осмыслить само понятие противоречия. Даже вот как там писал, изучать какие-нибудь сказочные "пространства противоречий".

Да, кстати, от метавычислителей тоже очень много такого интересного слышал. Но по большей части они ничем фундаментальным не занимаются, по большей части смотрят только в "практическую плоскость", как щас повсеместно принято. Вообще, с какого-то момента времени (в 20м веке) думать о философии математики стало совсем немодно. Это плохо, я считаю.