?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Крейсер «Аврора» стреляет большим чугунным ядром по Зимнему дворцу. Воздух между крейсером и дворцом предусмотрительно откачан, так что аэродинамическим сопротивлением следует пренебречь. Какой геометрической кривой описывается траектория ядра? Ответ должен быть общим и содержать объяснение; частные вырожденные случаи (например, прямая линия при выстреле вертикально вверх) неинтересны.

Комментарии спрятаны. Ответ и чествование победителей завтра.

Большинство ответов совершенно правильные: траектория ядра — эллипс. Это легко понять, представив себе летящее ядро спутником Земли. Если уменьшить Землю до точечной массы, чтобы ядро не врезалось в ее поверхность, то оно будет летать по эллиптической орбите с Землей в одном из фокусов. Так что можно заключить, что победили все.

Параболическая траектория получается в приближении постоянного во всех направлениях поля силы тяжести. Ядро летящее на высоте h, будет весить меньше в (1 + h/R) раз, где R — радиус земли. Таким образом, вес ядра на высоте 6,5 км уменьшается всего на 0,1%. Для решения большинства задач, не связанных с космическими полетами, этой разницей можно пренебречь, что и делается в школьном курсе физики. Только не надо забывать, что это все-таки приближение.

janatem поднял хороший вопрос о том, что происходит с ядром в системе отсчета, связанной с Землей. Разумеется, орбита в форме плоского эллипса будет наблюдаться только в системе, связанной с неподвижными звездами; с Земли все будет выглядеть иначе. Представим себе высокую башню, расположенную на экваторе, с которой мы будем запускать ядро на круговую орбиту. Если мы сообщим ядру скорость в направлении точно на север в земной системе отсчета, то оно не попадет на полюс: ведь его начальная скорость в небесной инерциальной системе отсчета складывается из экваториальной скорости движения башни (точно на восток) и сообщенной ядру скорости (точно на север), и суммарная скорость будет направлена на северо-запад. Если же мы запустим ядро так, чтобы оно пролетало над полюсами, то его скорость, наблюдаемая с Земли, будет наибольшей на экваторе, когда земная поверхность быстрее всего поворачивается под кольцом полярной орбиты, и наименьшей на полюсе. Стоя на полюсе, однако, вы увидите, как орбита ядра искривляется у вас над головой. Таким образом, мы как будто наблюдаем действие силы на ядро (силы Кориолиса), сообщающей ему максимальное ускорение над полюсами и нулевое над экватором. Такие силы всегда возникают, когда движение рассматривается в неинерциальной системе отсчета. Траектория из плоской окружности превращается в некую более сложную кривую, которая повторяет окружность только на околоэкваториальных участках (в общем случае, это будут участки двух разных, не копланарных, окружностей), и имеющая наиболее высокую кривизну у полюсов. У меня не сложилось пока точного геометрического описания этой кривой; порассуждать об этом было бы любопытно.

Приз за научную пытливость получает fat_crocodile за открытие I закона Кеплера и (правда, незавершенный) вывод его из закона всемирного тяготения. Полностью вывод, следующий Ньютону, но в современных терминах и обозначениях, приводится с подробностями в записке А. Фрейра (англ.).

Доб. pphantom справедливо заметил, что эллипс тоже не будет точным ответом. Эллипс получится, только если принять форму Земли идеально шарообразной, а ее плотность равномерной или распределенной сферически симметрично. Для реальной Земли отличие параболического приближения от эллиптического будет, на масштабах нескольких километров, не менее отличия эллиптического приближения от реального.

Tags:

Comments

surmenok
Dec. 12th, 2011 10:17 am (UTC)
По баллистической траектории, которая в отсутствие сопротивления воздуха имеет форму эллипса.