?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Крейсер «Аврора» стреляет большим чугунным ядром по Зимнему дворцу. Воздух между крейсером и дворцом предусмотрительно откачан, так что аэродинамическим сопротивлением следует пренебречь. Какой геометрической кривой описывается траектория ядра? Ответ должен быть общим и содержать объяснение; частные вырожденные случаи (например, прямая линия при выстреле вертикально вверх) неинтересны.

Комментарии спрятаны. Ответ и чествование победителей завтра.

Большинство ответов совершенно правильные: траектория ядра — эллипс. Это легко понять, представив себе летящее ядро спутником Земли. Если уменьшить Землю до точечной массы, чтобы ядро не врезалось в ее поверхность, то оно будет летать по эллиптической орбите с Землей в одном из фокусов. Так что можно заключить, что победили все.

Параболическая траектория получается в приближении постоянного во всех направлениях поля силы тяжести. Ядро летящее на высоте h, будет весить меньше в (1 + h/R) раз, где R — радиус земли. Таким образом, вес ядра на высоте 6,5 км уменьшается всего на 0,1%. Для решения большинства задач, не связанных с космическими полетами, этой разницей можно пренебречь, что и делается в школьном курсе физики. Только не надо забывать, что это все-таки приближение.

janatem поднял хороший вопрос о том, что происходит с ядром в системе отсчета, связанной с Землей. Разумеется, орбита в форме плоского эллипса будет наблюдаться только в системе, связанной с неподвижными звездами; с Земли все будет выглядеть иначе. Представим себе высокую башню, расположенную на экваторе, с которой мы будем запускать ядро на круговую орбиту. Если мы сообщим ядру скорость в направлении точно на север в земной системе отсчета, то оно не попадет на полюс: ведь его начальная скорость в небесной инерциальной системе отсчета складывается из экваториальной скорости движения башни (точно на восток) и сообщенной ядру скорости (точно на север), и суммарная скорость будет направлена на северо-запад. Если же мы запустим ядро так, чтобы оно пролетало над полюсами, то его скорость, наблюдаемая с Земли, будет наибольшей на экваторе, когда земная поверхность быстрее всего поворачивается под кольцом полярной орбиты, и наименьшей на полюсе. Стоя на полюсе, однако, вы увидите, как орбита ядра искривляется у вас над головой. Таким образом, мы как будто наблюдаем действие силы на ядро (силы Кориолиса), сообщающей ему максимальное ускорение над полюсами и нулевое над экватором. Такие силы всегда возникают, когда движение рассматривается в неинерциальной системе отсчета. Траектория из плоской окружности превращается в некую более сложную кривую, которая повторяет окружность только на околоэкваториальных участках (в общем случае, это будут участки двух разных, не копланарных, окружностей), и имеющая наиболее высокую кривизну у полюсов. У меня не сложилось пока точного геометрического описания этой кривой; порассуждать об этом было бы любопытно.

Приз за научную пытливость получает fat_crocodile за открытие I закона Кеплера и (правда, незавершенный) вывод его из закона всемирного тяготения. Полностью вывод, следующий Ньютону, но в современных терминах и обозначениях, приводится с подробностями в записке А. Фрейра (англ.).

Доб. pphantom справедливо заметил, что эллипс тоже не будет точным ответом. Эллипс получится, только если принять форму Земли идеально шарообразной, а ее плотность равномерной или распределенной сферически симметрично. Для реальной Земли отличие параболического приближения от эллиптического будет, на масштабах нескольких километров, не менее отличия эллиптического приближения от реального.

Tags:

Comments

wildej
Dec. 12th, 2011 11:07 am (UTC)
Так, ну что у нас там действует. Ну во-первых, сила тяжести. Для начала примем ее как силу направленную к центру Земли. Тогда получим эллипс. Это если, конечно, чугунное ядро не полетело у нас сразу быстрей второй космической мимо Зимнего, а то относительно Земли получится парабола. Ну по началу, понятно. Потом куда-нибудь еще притянется.

Кстати, во-вторых, почему потом? Сразу и притянется. И Луной, и Солнцем. И этой, как ее, галактикой M404 тоже. Но по началу, конечно, притянется к гравитационным аномалиям вокруг. К Неве чуть поменьше, к гранитным плитам берегов - побольше. К залежам золотых и прочих металлических побрякушек внутри Зимнего, опять же. Так что нашему эллипсу поплохеет, конечно.

В-третьих, обратно, ядро у нас чугунное, а ну как на ней статика образовалась? Понятно, начнет притягиваться к контактному рельсу в метрополитене под Невой и к батарейке в мобильнике находящегося рядом зеваки, и все согласно Кулону. Вот тут-то наш эллипс вообще колбаситься начнет.

В-четвертых, кстати, мы стрелять днем или ночью будем? Потому что если днем, так еще и солнечным светом наше ядро будет сверху лупить-к Земле пригибать. Правда и снизу тоже - от воды отражаясь. Да и ночью света тоже хватает. И не только солнечного.

В-пятых, а относительно чего траекторию считать? Потому что пресловутый эллипс, он ведь относительно ядра земли получается, а Аврора вместе с пушкой, да и Зимний относительно этого центра вращаются с большой скоростью, да еще и скорее всего разной: Аврора ближе к северному полюсу, чем Зимний (это не точно: Зимний не точка, а Нева на там с северо-востока на юго-запад течет, так что может и наоборот получится), а потому вращается медленней. А потому и ядро тоже будет вращаться вокруг центра Земли медленней, чем Зимний. Так что если относительно дворца считать, это тоже придется учесть.

В-шестых... Ну в общем, дальше что-то лень стало продолжать =)

П.С. Исходный эллипс родом там же, где и в первом законе Кеплера - из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Ну точнее, не эллипс, а коническое сечение. А потому и парабола может получится, и прямая. Выкладки есть, например, здесь