?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Хотель им. Гильберта

Четных чисел, друзья мои, гораздо больше, чем нечетных. Рассмотрим четные числа: добрая половина из них делится на 4. Возьмем все нечетные и удвоим каждое из них. Из одного нечетного числа получается ровно одно четное, все различные, и ни одно из этих четных, само собой ясно, на 4 не делится. Выходит, что нечетных чисел едва хватит, чтоб из них половину от четных наделать. Такие дела QED.

Comments

fregimus
Feb. 4th, 2012 11:02 pm (UTC)
Неверно здесь здравомысленное представление о том, что если не каждое целое число обладает неким свойством, то таких чисел непременно меньше, чем всех чисел. Например, среди целых чисел не все — квадраты, и для любого сколь угодно большого N>1, в интервале от 1 до N квадратов будет меньше N. Однако распространять это свойство на бесконечное множество чисел нельзя, иначе такое понимание бесконечного множества будет исполнено парадоксов. Понятия больше и меньше попросту не годятся для бесконечно больших количеств элементов. Кантор ввел понятие мощности бесконечного множества; в частности, если элементы бесконечного множества можно пронумеровать, то мощность этого множества равна мощности множества целых. В этом смысле квадратов «ровно столько же», сколько целых. И чисел из моего «доказательства» тоже столько же, сколько целых, потому что каждому целому n соответствует такое удвоенное нечетное, не делящееся на 4, то есть число вида вида 4n+2.
coolpartyworm
Feb. 5th, 2012 07:55 am (UTC)
>>> "среди целых чисел не все — квадраты"

В смысле — не все квадраты натуральных чисел? Так-то ведь вроде как считается, что из любого числа (даже из минус единицы) можно извлечь корень, а значит, любое число является квадратом.

>>> "И чисел из моего «доказательства» тоже столько же, сколько целых, потому что каждому целому n соответствует такое удвоенное нечетное, не делящееся на 4, то есть число вида вида 4n+2".

А почему Вы вдруг начинаете говорить не о четных и нечетных, а просто о целых n, и не об умножении нечетных на 2, а о 4n + 2?

И почему это доказательство нужно прилагать к бесконечному множеству? А если взять, допустим, интервал 1—1000, то в чем будет ошибка?
fregimus
Feb. 5th, 2012 08:19 am (UTC)
Здесь мы только о натуральных числах говорим. Нет такого целого, чтобы в квадрате давало 3 или 5.

Любое нечетное число имеет вид 2n+1. Если мы умножаем его на 2, как в «доказательстве», получается 2(2n+1)=4n+2. 4n+2 не делится нацело на 4, потому что 4n делится нацело, а 2 нет, получается 1/2, в результате всегда выходит целое плюс половинка.

Для конечного множества никакой ошибки нет. В интервале от 1 до 5 нечетных (1,3,5) больше, чем четных (2,4). Ошибка возникает только тогда, когда этот же результат распространяют на бесконечные множества.
coolpartyworm
Feb. 5th, 2012 11:56 am (UTC)
Но в интервале 1—1000 четных и нечетных чисел поровну. Следовательно, какая-то ошибка в "доказательстве" есть. В чем же она?
fregimus
Feb. 5th, 2012 02:06 pm (UTC)
Там говорится о бесконечном множестве чисел, а интервал конечный.
coolpartyworm
Feb. 5th, 2012 11:58 am (UTC)
>>> "Любое нечетное число имеет вид 2n+1. Если мы умножаем его на 2, как в «доказательстве», получается 2(2n+1)=4n+2. 4n+2 не делится нацело на 4, потому что 4n делится нацело, а 2 нет, получается 1/2, в результате всегда выходит целое плюс половинка".

Ну об этом и говорится в доказательстве. Единственное — 1 вроде бы не равно 2n + 1.
fregimus
Feb. 5th, 2012 02:07 pm (UTC)
2×0+1=1
coolpartyworm
Feb. 5th, 2012 03:31 pm (UTC)
0 же не относят к "натуральным числам".

Edited at 2012-02-05 03:32 pm (UTC)
fregimus
Feb. 5th, 2012 03:59 pm (UTC)
Можем и отнести, если надо, — аксиом Пеано это не нарушит. Или можно записать 2n-1.