?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Вещественные числа

Если вы еще не читали рассказа akukleva о вещественных числах и реальности, то вы, полагаю, немало упустили! Для меня вещественные числа всегда представляли собой загадку. Чем дольше я о них думаю, тем менее я их могу себе представить. Сложная тема.
Я хочу рассказать о двух основополагающих в науке абстракциях, которые вызывают сомнения у людей, тяготеющих к объективизму и другим формам жесткого реализма, отказывающего в состоятельности любым понятиям, не проистекающим напрямую из объективных свойств наблюдаемой физической реальности. Я постараюсь как можно более детально объяснить, почему обе эти абстракции не смотря на свою эфемерность совершенно необходимы для анализа и понимания этой самой объективной реальности. Речь пойдёт о бесконечности и о точке.

Tags:

Comments

( 9 comments — Leave a comment )
cobetbi
Jan. 26th, 2013 11:30 am (UTC)
Да, удивительно что вы про деятеля только что узнали. Мне он вообще нравится. Уникальное сочетание ума (может быть наибольшего из всех кого в жожо знаю (даже меня он умнее чуть-чуть)) с какой-то предельной простотой общения.

Но рассказ мне совсем не понравился, данный деятель мог лучше написать. Я бы даже громко сказал, что "поверхностно" там всё. Правда конкретно что-то критиковать я никак не осилю, сложно очень.
am_tiger_a
Jan. 26th, 2013 12:53 pm (UTC)
Все натуральные числа «влезают» в вещественную прямую, но не наоборот. Ниже ещё подробно будет доказано, что это так. Вполне может быть у каких-нибудь величин ёмкость спектра бесконечная, но не совпадает ни с ёмкостью натурального ряда, ни с ёмкостью вещественной прямой. Существование таких величин ничему не противоречит, однако на данный момент таких величин мы не знаем и их существование представляется очень сомнительным.


Вам не кажется, что это утверждение автора, мягко говоря, противоречит теореме Кантора? Или и по-вашему тоже мощность булеана R совпадает с мощностью R?
fat_crocodile
Jan. 26th, 2013 03:36 pm (UTC)
Я думаю, автор знает о теореме Кантора, а в процитированном отрывке ключевым является слово "величин". Оно не было толком определено, но это же и не учебник.
am_tiger_a
Jan. 26th, 2013 04:33 pm (UTC)
Как раз пассаж "про величины" автору простителен, как некая неаккуратность. Так-то следовало бы говорить о совокупностях или наборах (конечно, лучше всего множествах) величин. Но никак не об отдельных величинах, потому что уместить в счётном множестве можно любые трансцендентные величины. Просто не все сразу.
deminded
Jan. 26th, 2013 03:03 pm (UTC)
Вещественные числа - это производное от дискретного характера нашего мышления, которое породило сначала натуральные числа, а потом на из основе пытается создать вещественные.

В том плане, что весь математический язык строится на исчислении, а исчисление базируется на счете, а счет - на выявлении отличия. Исходный бит информации - это различимость состояния, то есть отличие одного состояния от другого. Это уже дает нам единицу - натуральное число. Натуральность базового числа следует из определения самой операции счета, измерения: различие должно быть. Вещественные числа - это, наоборот, следствие попытки вернуться от натурального исчисления к непрерывной природе вселенной. Именно поэтому их нельзя объять разумом - разум оперирует качественным отличием, а вселенная - геометрическим сопоставлением....
am_tiger_a
Jan. 26th, 2013 03:35 pm (UTC)
В том плане, что весь математический язык строится на исчислении, а исчисление базируется на счете, а счет - на выявлении отличия.

А алгебра это по-вашему что тогда такое?


Исходный бит информации - это различимость состояния, то есть отличие одного состояния от другого. Это уже дает нам единицу - натуральное число.

Единица определима только относительно алгебраической операции. Так, относительно сложения она может и единица, а вот относительно умножения единица тот же нейтральный элемент (т.е. то же, что и ноль относительно сложения).


Натуральность базового числа следует из определения самой операции счета, измерения: различие должно быть.


Множество натуральных чисел, конечно, порождается "счётом" (т.е. это циклическая полугруппа относительно сложения с порождающим элементом равным 1), но кто сказал, что порядок обязан быть аддитивным? Порядок вполне себе может быть и мультипликативным (т.е. базовой операцией можно принять не сложение, а умножение).


Вещественные числа - это, наоборот, следствие попытки вернуться от натурального исчисления к непрерывной природе вселенной.


В этом смысле "непрерывности" вполне доставало и рациональных чисел. Иное дело, что переход к вещественным числам случился в тот период, когда теоретически сложно было понять, что иррациональные числа бывают алгебраическими, а бывают трансцендентными. Иначе, нужды в большинстве случаев вполне покрывались бы рациональными алгебраическими числами, которые (в случае аппроксимации трансцендентных функций рядами) дают вполне достаточный арсенал и ощущение "непрерывности" :)


Именно поэтому их нельзя объять разумом - разум оперирует качественным отличием, а вселенная - геометрическим сопоставлением....


А что такое "геометрическое сопоставление" необъятное разумом? Топологию разум вроде бы вполне себе способен уразуметь :)
antihydrogen
Jan. 27th, 2013 12:29 am (UTC)
Спасибо за ссылку. Очень понятное объяснение, хотя в части насчет квантовой механики мысль автора занеслась куда то не туда.
fregimus
Jan. 27th, 2013 12:31 am (UTC)
Да почему не туда? Это фейнмановская интерпретация: до того, как спин измерен, он имеет все возможные значения сразу. Мы ж его по всем траекториям интегрируем, по вещественному континууму. Или Вы не об этой части?
antihydrogen
Jan. 27th, 2013 01:11 am (UTC)
Нет, у меня по вопросу отсутствия нетривиальной динамики у систем с дискретным спектром http://akuklev.livejournal.com/1087886.html?thread=7279502#t7279502, по которому, как я позже заметил, спрашивали его и вы. Ну еще и невычислимость отношения радиусов меня несколько смутила.
( 9 comments — Leave a comment )