?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Вещественные числа

Если вы еще не читали рассказа akukleva о вещественных числах и реальности, то вы, полагаю, немало упустили! Для меня вещественные числа всегда представляли собой загадку. Чем дольше я о них думаю, тем менее я их могу себе представить. Сложная тема.
Я хочу рассказать о двух основополагающих в науке абстракциях, которые вызывают сомнения у людей, тяготеющих к объективизму и другим формам жесткого реализма, отказывающего в состоятельности любым понятиям, не проистекающим напрямую из объективных свойств наблюдаемой физической реальности. Я постараюсь как можно более детально объяснить, почему обе эти абстракции не смотря на свою эфемерность совершенно необходимы для анализа и понимания этой самой объективной реальности. Речь пойдёт о бесконечности и о точке.

Tags:

Comments

am_tiger_a
Jan. 26th, 2013 03:35 pm (UTC)
В том плане, что весь математический язык строится на исчислении, а исчисление базируется на счете, а счет - на выявлении отличия.

А алгебра это по-вашему что тогда такое?


Исходный бит информации - это различимость состояния, то есть отличие одного состояния от другого. Это уже дает нам единицу - натуральное число.

Единица определима только относительно алгебраической операции. Так, относительно сложения она может и единица, а вот относительно умножения единица тот же нейтральный элемент (т.е. то же, что и ноль относительно сложения).


Натуральность базового числа следует из определения самой операции счета, измерения: различие должно быть.


Множество натуральных чисел, конечно, порождается "счётом" (т.е. это циклическая полугруппа относительно сложения с порождающим элементом равным 1), но кто сказал, что порядок обязан быть аддитивным? Порядок вполне себе может быть и мультипликативным (т.е. базовой операцией можно принять не сложение, а умножение).


Вещественные числа - это, наоборот, следствие попытки вернуться от натурального исчисления к непрерывной природе вселенной.


В этом смысле "непрерывности" вполне доставало и рациональных чисел. Иное дело, что переход к вещественным числам случился в тот период, когда теоретически сложно было понять, что иррациональные числа бывают алгебраическими, а бывают трансцендентными. Иначе, нужды в большинстве случаев вполне покрывались бы рациональными алгебраическими числами, которые (в случае аппроксимации трансцендентных функций рядами) дают вполне достаточный арсенал и ощущение "непрерывности" :)


Именно поэтому их нельзя объять разумом - разум оперирует качественным отличием, а вселенная - геометрическим сопоставлением....


А что такое "геометрическое сопоставление" необъятное разумом? Топологию разум вроде бы вполне себе способен уразуметь :)