?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Возьмите интегральчик!

Друзья, что-то я никак не соображу, куда мне смотреть. Вопрос возник из функции (плотности?) вероятности, определенной только для рациональных чисел.

Если у нас есть конечное число событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1. Если множество событий континуально-бесконечное, то мы отображаем пространство событий на вещественные числа, и говорим, что в этом случае интеграл функции плотности вероятности по всей вещественной оси равен 1. Но как быть со счетно-бесконечными пространствами событий? В распределениях с целым носителем к 1 сходится сумма бесконечного ряда, но как быть с рациональными?

Tags:

Comments

fregimus
Dec. 15th, 2013 11:10 pm (UTC)
Посмотрите, пожалуйста, на этот комментарий: http://fregimus.livejournal.com/232498.html?thread=6551090#t6551090
akuklev
Dec. 16th, 2013 12:56 am (UTC)
Просто не надо смешивать тёплое с мягким. Есть два совершенно разных по сути распространённых источника меры на пространствах: количество элементов и однородность по отношению к действию какой-то группы сдвигов.
1) Если у нас пространство событий по природе таково, что на него свободно и транзитивно действует группа сдвигов G (чаще всего, R^n, но вообще это может быть любая локально-компактная группа), то на пространстве по-существу единственным образом определяется мера, инвариантная по отношению к сдвигам. (Мера Хаара) Примеры таких мер: длина на действительной прямой, площадь на плоскости, сфере или гиперболоиде, объем в пространстве. Лебегово интегрирование по этим мерам по-существу совпадает с Римановым: оно в существенной степени учитывает, что подлежащее пространство однородно и имеет какую-то жесткую структуру.
2) Если у нас пространство счётное, то превосходно работает counting measure, т.е. мера m такая что m(S) просто считает сколько элементов во множестве S. Для такого measure space интеграл лебега это просто абсолютное суммирование ряда. Оно работает абсолютно одинаково что с натуральными числами, что с рациональными, что с чёртом лысым. При этом то, что рациональные числа образуют разрешимое нормированное однородное линейно-упорядоченое пространство и являются элементарным полем характеристики 0, тут совершенно не учитывается.

Мы можем вложить рациональные числа в действительные, и интегрирование функции на рациональных числах с использованием counting measure не будет иметь абсолютно ничего общего с интегрированием какой-то ассоциированной функции на всех действительных числах с использованием длины в качестве меры. Длина-то смотрит на то, насколько близки друг к другу элементы множества, а количественной мере это совершенно пофиг. Если взять интегрируемую на действительных числах непрерывную ненулевую функцию f и ограничить её на рациональные числа, результат заведомо не будет интегрируем в смысле счётного интегрирования: для такой функции заведомо найдется открытый интервал I и положительная константа eps, такие что f(x) > eps на I; в открытом интервале бесконечное число рациональных чисел, так что её сумма как ряда там превышает eps*\infty, т.е. бесконечна. То есть, ни одна интегрируемая рационально функция на рациональных числах не может быть дополнена до непрерывной функции на действительных. Любое расширение такой функции на действительные будет почти всюду прерывисто.
janatem
Dec. 16th, 2013 09:11 am (UTC)
Да, всё правильно насчет разных источников меры. Сам собирался про это написать.

Но зачем искать продолжение меры на R в виде непрерывной функции плотности? Наивное продолжение может представлять собой сумму дельта-функций. Можно ли построить что-нибудь изящней, не знаю. (Например, добиться, чтобы в иррациональных точках не обязательно везде были нули, а в рациональных — только конечные значения.)

Предлагаю такую конструкцию. Пусть на рациональном подмножестве отрезка [0,1] задана следующая мера: для нечетных a, и ноль в остальных местах. (Если я нигде не проврался, эта мера должна получиться отнормированной.) Тогда продолжение меры может выглядеть так:


Аналогично строится продолжение для любой меры, заданной поточечно на рациональном подмножестве.
akuklev
Dec. 16th, 2013 12:33 pm (UTC)
> Но зачем искать продолжение меры на R в виде непрерывной функции плотности?

Я не меру продолжал, а интегрируемую функцию на рациональных числах. Хотел просто проиллюстрировать, что интегрирование в смысле суммирования ряда это нифига не интегрирование функции на "рациональной части действительной прямой". А ваша конструкция меры вполне работает, но я не вижу, чем она примечательна.

Profile

oak
fregimus
L. Fregimus Vacerro

Latest Month

August 2018
S M T W T F S
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 

Page Summary

Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow