?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

П. Локхарт. «Плач математика». (Окончание. Часть I, часть II.)

Геометрия в старших классах: инструмент дьявола.

Ничто так не раздражает автора едкого обличения, как предложение самой главной жертвы его яда в качестве аргумента в поддержку его мысли. Нигде волк в овечьей шкуре не вероломен настолько, как на уроке геометрии. Такая попытка школы дать введение в искусство рационального рассуждения опасна сама по себе.

Этот вирус атакует математику в самое сердце, создавая иллюзию, будто именно на уроке геометрии школьники знакомятся с математическим рассуждением, и тем самым разрушает саму суть творческого рационального мышления, отравляя учеников в стремлении к этому занимательному и красивому предмету, навсегда калеча их способность мыслить о математике естественным и интуитивным путем.

Механизм, стоящий за этим, тонок и изощрен. Жертва-ученик сначала оглушается и парализуется потоком бессмысленных определений, положений и значков, а затем медленно и болезненно отлучается от естественного интереса и интуиции о геометрических формах и их закономерностях систематической пропагандой корявого языка и искусственного формата так называемого «формального геометрического доказательства».

Скажем прямо и без метафор: урок геометрии есть наиболее эмоционально и ментально деструктивная компонента всей математической программы, от первого класса и до последнего. Другие математические курсы могут спрятать прекрасную птицу или посадить ее в клетку; но лишь на уроке геометрии ее подвергают бездушным пыткам. (Нет, видимо, я еще не готов говорить без метафор.)

Здесь систематически подрывается интуиция ученика. Доказательство, математическое рассуждение есть произведение искусства, поэма. Его цель — удовлетворить. Красивое доказательство призвано объяснять, и объяснять ясно, глубоко и элегантно. Хорошо написанное, проработанное рассуждение должно чувствоваться холодными брызгами и вести лучом маяка — освежать дух и освещать ум. Оно должно очаровывать.

В том, что сходит за доказательство на уроке геометрии, нет ничего очаровательного. Школьникам дают негибкий, догматический формат, в котором они должны производить так называемые «доказательства» — формат настолько непотребный и неподходящий, как, например, требование от детей, желающих высадить сад цветами, называть их цветы латинскими видом и родом.

Рассмотрим примеры этого безумия. Начнем с рисунка двух пересекающихся прямых:

На первом шаге рисунок следует замутить излишними обозначениями. Нельзя говорить о двух пересекающихся прямых: им следует дать вычурные обозначения. Не просто «прямая 1» и «прямая 2», или a и b. Мы должны, в соответствии с требованиями школьной геометрии, выбрать произвольные ненужные точки на этих прямых и называть эти прямые в соответствии со специальной «системой обозначения прямых».

Теперь мы будем называть их AB и CD. Боже упаси забыть надчеркивание: запись AB обозначала бы длину отрезка (во всяком случае, как это делается в настоящий момент15). Ничего, что эта система бессмысленно усложнена, просто научитесь ей пользоваться. Теперь начинается собственно доказательство, обычно предваряемое каким-нибудь абсурдным названием, например,

ТЕОРЕМА 2.1.1

Пусть AB и CD пересекаются в точке P.
Тогда ∠APC ≅ ∠BPD16

То есть — что углы одинаковы. Да пересекающиеся прямые симметричны, ради всего святого! И, как будто этого мало, это очевидно верное утверждение должно быть «доказано»:

Доказательство.

  Утверждение Объяснение
1. mAPC + mAPD = 180
mBPD + mAPD = 180
Постулат о сложении углов.
2. mAPC + mAPD = mBPD + mAPD Свойство подстановки
3. mAPD = mAPD Рефлексивное свойство равенства
4. mAPC = mBPD Аддитивное свойство равенства
5. APC ≅ ∠APC Постулат об измерении углов

Вместо остроумного и интересного рассуждения, написанного человеческим существом на одном из естественных языков Земли, нам предлагается это гнетущее, бездушное, бюрократическое заполнение бланка. И какого слона удалось раздуть из мухи! Мы что, на самом деле хотим показать, что самоочевидное наблюдение требует такого огромного введения? Честно: вы его прочитали или нет? Нет. Кто станет это читать?

Такой вывод столь элементарного утверждения заставляет людей сомневаться в собственной интуиции. Подвергая сомнению очевидное, настаивая на том, чтобы оно было «строго доказано» (как будто вышеприведенное доказательство строгое!), ученику как бы говорят: «Твоя интуиция и твои идеи сомнительны. Ты должен говорить и думать по-нашему».

В математике, без сомнения, есть место формальному доказательству. Но место ему не в первом введении ученика в предмет математического рассуждения. Позвольте ему сперва ознакомиться с некоторыми математическими объектами, понять, чего от них можно ожидать, перед тем, как вы начнете все формализовать. Строгое формальное доказательство необходимо только в кризисной ситуации, когда ваши воображаемые объекты начинают вести себя противоинтуитивным образом, когда возникает парадокс. Но излишняя профилактическая гигиена здесь излишня — никто еще не заболел! Разумеется, если логический кризис рано или поздно происходит, его следует исследовать, а аргументы прояснить, но и этот процесс может быть проделан интуитивно и неформально. Дух математики как раз и состоит в этом диалоге со своим собственным доказательством.

Дети не только запутываются этим педантизмом — ведь нет ничего более непонятного, чем доказательство очевидного — но даже те, чья интуиция еще пока цела, вынуждены переводить их отличные, прекрасные идеи на этот язык абсурдных иероглифов, который учитель называет «верным». Учитель же льстит себе, полагая, что это каким-то неизвестным образом «оттачивает ум» ученика.

В качестве более серьезного примера, рассмотрим случай треугольника в полукруге.

Чудесная закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым.

В этом случае наша интуиция находится в сомнении. Вовсе даже и не ясно, что это утверждение всегда истинно, даже и не похоже на то — разве не должен угол меняться, когда мы двигаем вершину треугольника по окружности? Это замечательная задача! Всегда ли угол прямой? Если да, почему? Какая чудесная самостоятельная работа! Какая чудесная возможность проявить смекалку и воображение! Разумеется, такой возможности ученикам не дают, и их интерес немедленно сбивается нижеследующим:

ТЕОРЕМА 9.5.



Пусть ∆ABC вписан в полукруг диаметром AC.
Тогда угол ∠ABC прямой.

Доказательство.

Утверждение Объяснение
1. Проведем радиус OB. Тогда OB = OC = OA. Дано.
2. mOBC = mBCA
mOBA = mBAC
Т. о равнобедренном треугольнике.
3. mABC = mOBA + mOBC Постулат о сложении углов.
4. mABC + mBCA + mBAC = 180 Т. о сумме углов треугольника.
5. mABC + mOBC + mOBA = 180 Подстановка (3).
6. mABC = 180 Подстановка (2).
7. mABC = 90 Мультипликативное свойство равенства.
8. Угол ∠ABC прямой Определение прямого угла.

Возможно ли что-нибудь более непривлекательное и неэлегантное? Можно ли было сделать доказательство более запутанным и нечитабельным? Это не математика! Доказательство должно быть посланием богов, а не телеграммой Алекса Юстасу! Вот к чему приводит неуемное чувство строгости: к мерзости. Дух доказательства похоронен под грудой путаного формализма.

Математики так не работают. Ни один математик никогда так не работал. Это полное и окончательное непонимание предприятия математики. Математика не занимается возведением барьеров между нами и нашей интуицией, чтобы сделать простое сложным. Математика убирает препятствия нашей интуиции, и сохраняет простое простым.

Сравните эту мешанину со следующим рассуждением одного моего семиклассника:

Возьмем треугольник и перевернем его внутри круга так, что получится четырехугольник, вписанный в круг. Поскольку мы перевернули треугольник, противоположные стороны четырехугольника равны, то есть это параллелограмм. Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга, и, следовательно, равны. Значит, это прямоугольник, и все его углы прямые. Вот почему угол треугольника всегда прямой.

Разве не восхитительно? Моя цель не сравнить, какое из двух рассуждений лучше как идея, а показать, насколько идея видна только во втором. (На самом деле, идея первого доказательства тоже хороша, но она едва проступает через эту запись, словно через закопченное стекло.)

Еще важнее то, что это собственная идея ученика. У класса была замечательная задача, над которой дети работали, разрабатывали свои предположения, пытались вывести доказательства, и это то, что в конце концов привел один из учеников. Разумеется, это заняло несколько дней, и получилось только в результате долгой череды неудач.

Честно говоря, я изрядно перефразировал доказательство. Оригинал был куда более запутанным и содержал множество ненужных слов (и грамматических и орфографических ошибок). Тем не менее, я понял его. И все эти дефекты были только к лучшему — мне, как учителю, они тоже дали понять кое-что важное. Я указал на несколько стилистических и логических неточностей, и ученик смог исправить их. Например, я был недоволен утверждением о том, что обе диагонали — диаметры, мне не казалось это полностью очевидным — но это лишь означало, что мы должны были извлечь что-то из понимания ситуации. Ученик прекрасно справился и с этой проблемой:

Поскольку треугольник повернут ровно на половину оборота, вершина должна находиться напротив того места, откуда мы начали его поворачивать. Вот почему обе диагонали четырехугольника — диаметры.

Вот такая замечательная работа и прекрасная математика — даже не знаю, кто был более горд результатом: ученик или я. Вот пример именно того опыта, какому я хотел бы научить всех своих учеников.

* * *

Проблема со стандартной программой геометрии в том, что опыт самостоятельного терзающегося художника в нем отсутствует. Искусство доказательства заменено бланком установленной формы для пошагового вывода. Учебник приводит набор определений, теорем, доказательств, учитель переносит их на доску, ученики переписывают их в тетради. Детей учат повторять эти доказательства в их упражнениях. Те, кто обучаются этому повторению быстро, называются «хорошими учениками».

В результате ученик становится пассивным участником творческого акта. Ученики делают утверждения, чтобы заполнить графы в этом бланке доказательства, не потому, что они хотят именно это выразить. Они не строят аргументов — они обезьянничают, копируя аргументы. Таким образом, они не только не понимают, что говорит учитель — они не понимают, что говорят сами.

Даже традиционный способ, которым представляются доказательства — ложь. Перед броском в каскад пропозиций и теорем вводятся определения, чтобы сделать доказательства возможно более краткими, как бы создавая иллюзию ясности. На поверхностный взгляд затея выглядит невинной: почему бы и не ввести список сокращений, чтобы говорить далее экономичнее? Проблема кроется в том, что определения важны. Они должны происходить эстетически обоснованно из того, что вы, создатель произведения искусства, считаете важным. И они должны быть вызваны задачей. Определения должны привлекать внимание к свойствам объектов и структуры задачи. Исторически это происходило как результат работы над задачей, а не как прелюдия к ней.

Вы не начинаете работы с определений — вы начинаете ее с задачи. Никому в голову не приходила идея, что число может быть «иррациональным», до тех пор, пока Пифагор не попытался вычислить диагональ квадрата и не пришел к выводу, что она непредставима дробью. Определения имеют смысл, когда вы достигаете в работе той точки, где требуется осмысленное различение сущностей. Немотивированные же определения, напротив, скорее вызовут путаницу.

Это еще один пример того, как от учеников скрывают математический процесс, и исключают их из него. Ученики должны уметь вводить свои собственные определения по необходимости — чтобы самим ограничить обсуждаемое. Я не хочу, чтобы ученики говорили «определение», «теорема», «доказательство» — только «мое определение», «моя теорема», «мое доказательство».

Еще одна серьезная проблема с такой подачей материала в том, что она скучна. Эффективность и экономия противостоят хорошему преподаванию. Уверен, что Евклиду такая система не понравилась бы, и точно знаю, что ее не одобрил бы Архимед.

Симплицио. Подожди-ка минуточку. Не знаю, как тебе, а вот мне нравились уроки геометрии. Мне нравилась структура, нравилось доказательство в строгой форме.

Сальвиати. Не сомневаюсь, что так и было. Уверен, что ты иногда даже решал интересные задачи. Многим нравятся уроки геометрии (хотя куда более многие терпеть их не могут). Но это не аргумент в защиту существующего режима. Скорее, это яркое свидетельство притягательности самой математики. Сложно разломать нечто столь прекрасное: даже слабая тень ее будет и манить, и вознаграждать. Многим нравится и раскраски раскрашивать, ведь это расслабляющее и разноцветное рукоделие. Но они от этого живописью не делаются.

Симплицио. Но говорю же тебе: мне нравилась геометрия.

Сальвиати. И если бы у тебя случился более естественный математический опыт, тебе бы он понравился еще больше.

Симплицио. Значит, нам просто нужно организовать свободное от планов математическое путешествие, и ученики научатся тому, чему уж они научатся?

Сальвиати. Вот именно. Задачи ведут к другим задачам, техника вырабатывается по мере надобности, а новые темы возникают естественным образом. И если какой-то вопрос так и не возникнет за тринадцать лет обучения, насколько же он тогда интересен?

Симплицио. Да ты совсем с ума сошел!

Сальвиати. Возможно. Но даже работая в обычных рамках, хороший учитель может направлять обсуждение и переходить от задачи к задаче так, чтобы ученики могли открывать и изобретать для себя математику. Беда в том, что бюрократия не позволяет отдельному учителю это делать. При жестком наборе программ учитель не может вести за собой. Не должно быть стандартов, и не должно быть программ — только личности, делающие по собственному разумению лучшее возможное для учеников.

Симплицио. Но как тогда школы могут гарантировать одинаковые базовые знания учеников? Как мы сможем точно и объективно сравнить их?

Сальвиати. Никак, и мы не будем их сравнивать — все будет так, как бывает на самом деле. Рано или поздно ты оказываешься перед тем фактом, что люди все разные — и это хорошо. Как бы там ни было, но никакого давления на самом деле нет. Допустим, ученик оканчивает среднюю школу, не помня формул синуса и косинуса двойного угла (как будто выпускники их сейчас помнят). Ну и что? По крайней мере, у выпускника будет правильное понятие о настоящем предмете математики, по крайней мере он увидит нечто прекрасное!

Заключение

Завершая эту критику стандартной школьной программы, я хотел бы представить в помощь обществу первую до конца честную школьную программу по математике для всех классов.

Начальная школа

Начальное запаривание мозгов. Ученики постигнут, что математика — это не то, что ты делаешь, а то, что делают за тебя. Внимание уделяется дисциплине на занятиях, аккуратному заполнению прописей и тщательному исполнению инструкций. Дети изучат сложную систему алгоритмов для манипуляции символами непонятного алфавита, не имеющую отношения к тому, что им интересно и любопытно, несколько столетий назад считавшуюся слишком сложной для среднего взрослого. Особые усилия прикладываются к заучиванию таблицы умножения, а также к родителям, учителям и самим ученикам.

Средняя школа

Ученики обучатся взгляду на математику как совокупность шаманских ритуалов, вечных и неизменных. Ученикам будут выданы Священные Таблички учебников, и они обучаются говорить о старейших шаманах в третьем лице (например, «чего от меня хотят? они хотят, чтобы я что поделил?»). Искусственные, вымученные «текстовые задачи» будут введены, чтобы, по сравнению с ними, безумная зубрежка арифметики показалась приятной и интеллектуальной. Ученики сдают экзамены на знание бессмысленных технических терминов, таких, как «целое число», «правильная дробь», вводимых без малейших на то причин. Данный курс полностью подготовит ученика к курсу алгебры-1.

Алгебра-1

Чтобы избежать потерь времени на размышления над числами и закономерностями, курс построен вокруг символов и правил манипуляции ими. Плавное и постепенное введение в предмет, начиная с задач месопотамских табличек и заканчивая высоким искусством алгебры эпохи Возрождения, заменяется фрагментарным постмодернистским пересказом без действующих лиц, сюжета и линии повествования. Требование записывать все числа и выражения в стандартной форме создаст дополнительные трудности в понимании смысла тождества и равенства. Ученики по непонятной причине также заучат наизусть формулу для решений квадратного уравнения.

Геометрия

Не связанный с остальной программой, этот курс даст ученикам надежду на осмысленные математические действия, а затем не оправдает эту надежду. В курсе дается неуклюжая и непонятная система записи. Ученики будут напряженно работать над запутыванием простого до сложного. Целью курса является изведение остатков естественного математического любопытства для подготовки к курсу алгебры-2.

Алгебра-2

Предметом курса является немотивированное и неуместное применение аналитической геометрии. Конические сечения вводятся в системе координат, надежно скрывающей их простоту и эстетику. Учащиеся обучатся переписывать квадратичные формы в различные стандартные форматы без какой-либо цели. В курсе также вводятся экспоненциальные и логарифмические функции, несмотря на то, что они не являются алгебраическими объектами, просто потому, что больше их воткнуть было некуда. Название курса выбрано с целью закрепить мифологию о лестнице. Почему между алгеброй-1 и алгеброй-2 включается геометрия, в курсе не рассматривается.

Тригонометрия

Две недели содержания курса растянуты на полугодие самоценной игрой в определения. Интересные и красивые явления, например, как стороны треугольника зависят от его углов, будут даны с упором на бесполезные сокращения и устаревшие обозначения, чтобы не допустить возникновения у учащихся ясной идеи о предмете. Учащиеся изучат также бесполезные мнемоники17, заменяющие естественные и интуитивные понятия о симметрии. Измерение треугольников объясняется без упоминания трансцендентности тригонометрических функций, а также лингвистических и философских проблем, возникающих при подобных измерениях. Калькуляторы обязательны, чтобы запутать эту тему еще больше.

Начала анализа

Курс представляет собой винегрет из несвязанных между собою тем. Производится безуспешная попытка дать ученикам понятия о методах мат. анализа второй половины XIX в. на совершенно неподходящих примерах. Вводятся технические определения предела и непрерывности, заменяющие собою интуитивно ясное понятие плавного изменения. Как показывает название курса, он предназначен для подготовки учащихся к полному курсу мат. анализа, в котором будет завершено систематическое затуманивание идей формы и движения.

Мат. анализ

Курс предназначен для изучения математики движения и лучшего способа похоронить ее под горой формализма. Несмотря на то, что курс является введением в дифференциальное и интегральное исчисление, простые и глубокие идеи Лейбница и Ньютона будут заменены более сложным функциональным подходом, разработанным в ответ на некоторые аналитические кризисы, которые не относятся к данному уровню изложения и, разумеется, не будут упомянуты. Этот курс будет также слово в слово повторен в колледже.

* * *

Итак, перед вами рецепт для неизлечимого поражения юных умов, надежное излечение от любознательности. Что же они сделали с математикой!

В математике, древней форме искусства, есть и захватывающая дух глубина, и щемящая сердце красота — а вышло так, что люди противопоставляют математику творчеству. Они проходят мимо формы искусства, что древнее книги, глубже поэмы и абстрактнее любой абстракции. И ведет их именно школа! О скорбный замкнутый круг невинных учителей, несущих беду невинным ученикам! А ведь нам могло бы быть весело и интересно.

Симплицио. Ты огорчил меня изрядно. И что же дальше?

Сальвиати. Кажется, у меня есть одна интересная идея насчет пирамиды в кубе…

_____________________________________

15. Намек, несомненно, на слишком быстрое изменение правил математической записи — она столь строга, но меняется, тем не менее, едва ли не ежегодно.

16. Система записи, очевидно, такова: ∠APC обозначает угол APC, а mAPC — величину угла APC. Знак = означает равенство и применяется только к численным величинам, напр., величинам углов, а знак ≅ обозначает конгруэнтность и применяется только к геометрическим объектам, напр., углам. Читателю в качестве головоломки предлагается выдумать систему еще ужаснее этой. Читателя же, собравшегося уже обвинить автора в утрированном преувеличении, переводчик, также знакомый с американской школьной системой, может заверить со всей серьезностью, что дела обстоят именно так.

17. Автор приводит в качестве примеров мнемоники All Students Take Calculus и SohCahToa. Читателя, не знакомого с этими мнемониками, мы призываем не знакомиться с ними и далее.

Comments

( 93 comments — Leave a comment )
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
randomisator
Oct. 8th, 2008 07:53 am (UTC)
Я-то думал, что от меня в школе требовали слишком много по форме записи! "m∠ABC"!!! "Мультипликативное свойство равенства"!!! "Постулат об измерении углов"!!!
(Anonymous)
Oct. 8th, 2008 08:13 am (UTC)
Спасибо! Обязательно подкину и математикам в школе, и пообсуждаем в интернет-сообществах :)
logpoint
Oct. 8th, 2008 08:14 am (UTC)
Извините, не авторизовался :)
logpoint
Oct. 8th, 2008 08:42 am (UTC)
Пара опечаток и неточностей, если не возражаете:
1) "посадит ее в клетку" - либо "посадят", либо "посадить".
2) В том же абзаце представляется не лишней запятая после "Видимо" - в скобках.
3) В формулировке и в выводе теоремы 2.1.1 ошибка - должны быть равны углы APC и BPD, а не APC и APC.
4) Вместо "мне, как учитель" нужно "мне, как учителю".
5) "Вершина должна находиться того напротив того" - первое "того" лишнее.
6) Между "число может быть иррациональным" и "до тех пор" желательна запятая.
7) "Какой-то вопрос не так и не возникнет" - первое "не" лишнее.
8) "искусством алгебру эпохи Возрождения" - нужно "алгебры".
Спасибо еще раз!
fregimus
Oct. 8th, 2008 07:31 pm (UTC)
Спасибо! Сейчас поправлю.
timur0
Oct. 8th, 2008 08:47 am (UTC)
в России все не в таком запустении, слава богу
а с геометрией интересная штука - ученики не улавливают ту границу, когда уже пора доказывать, когда очевидность уже не катит. обычно это выражается в том, что они показывают пальцем - ну здесь же нарисовано, что угол - прямой! парадоксальным образом на сложных задачах проще объяснять смысл понятия "доказательство", причем тут становятся на место и формально заученные признаки равенства треугольников, к примеру

PS. Лучше бы он в заключении не критиковал, а что содержательное предложил. но это так, несущественно
logpoint
Oct. 8th, 2008 08:52 am (UTC)
Лично мне известна пара школ, где все именно в таком запустении. Конечно, не везде так, слава богу. Так и в Америке, думаю, не везде :)
(no subject) - timur0 - Oct. 8th, 2008 09:00 am (UTC) - Expand
(no subject) - logpoint - Oct. 8th, 2008 09:27 am (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 8th, 2008 09:45 am (UTC) - Expand
(no subject) - logpoint - Oct. 8th, 2008 10:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 8th, 2008 07:45 pm (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 9th, 2008 08:15 am (UTC) - Expand
(Anonymous)
Oct. 8th, 2008 09:09 am (UTC)
!!!
Боже, как же я благодарен Вам за этот перевод! Большое спасибо! То, что здесь выражено и объяснено на пальцах, простым человеческим языком, я на протажении нескольких (многих!) лет не мог облечь в удобоваримую форму, чтобы рассказать о своих ощущениях. Сначала родителям, потом школьным учителям, далее преподавателям в институте, теперь уже своим друзьям, которые в свою очередь сами стали преподавателями - ВСЕМ им абсолютно невдомек, что красота математики, элегантность её логики методично убивается, начиная с первых лет обучения еще в младших классах. И мне больно и обидно, что я сам - жертва такого вот "геноцида". И как результат, я не стал блестящим математиком (впрочем, и не мечтал :), не стал грамотным инженером, не стал... да много кем я не стал. Я и любимую физику институтского курса освоил с большим трудом, ибо невозможно опираться на несуществующий математический аппарат, отсутствие которого в моей голове суть результат такой вот последовательной травли простоты и красоты математики еще с детских времен. "Зато" я стал посредственным "гуманитарием". Но, слава Богу, это не мешает мне уже сейчас, во взрослом возрасте, периодически восторгаться элементарными вещами, открывая заново для себя то, чему, по идее, должен был радоваться еще в средней школе...
(Anonymous)
Oct. 8th, 2008 09:24 am (UTC)
Re: !!!
Да, вдогонку в качестве наглядной иллюстрации. Я знаю (знал) сотни людей, которые как попка-дурак умели вычислять, скажем, дискриминант при решении квадратных уравнений, ибо их "науськали" на применение определенного алгоритма. Или вычислять интегралы, или брать производные, или (да мало ли таких вот алгоритмических действий, которыми мы пользовались во время обучения). Но, дай Бог, процентов десять этих людей выполняли это осознанно, понимая, ЧТО ИМЕННО они в данный момент делают, каков СМЫСЛ в этом действии, зачем это и что оно вообще означает. И печалило меня, да и сейчас печалит то, что как правило, особой тупизной (в значении - неосознанность собственных действий) отличались именно те, кто в дальнейшем получали золотые медали, красные дипломы и прочие знаки отличия от среднестатистической массы учащихся. Они просто научились быстро заучивать непонитные алгоритмы и эффективно применять их к типовым задачам. И стали успешными! Но это кошмар, ведь многие из них и сейчас не понимают каков смысл в интегрировании...
Re: !!! - logpoint - Oct. 8th, 2008 09:29 am (UTC) - Expand
Re: !!! - (Anonymous) - Oct. 8th, 2008 11:19 am (UTC) - Expand
Re: !!! - logpoint - Oct. 8th, 2008 12:48 pm (UTC) - Expand
Re: !!! - (Anonymous) - Oct. 8th, 2008 01:38 pm (UTC) - Expand
Re: !!! - garvey_r - Oct. 8th, 2008 09:34 am (UTC) - Expand
Re: !!! - (Anonymous) - Oct. 8th, 2008 11:31 am (UTC) - Expand
Re: !!! - garvey_r - Oct. 8th, 2008 01:07 pm (UTC) - Expand
ex_navosvet
Oct. 8th, 2008 09:20 am (UTC)
99.9 % людей - рефлексоиды. Они не могут ничего понимать.

Вы пытаетесь их заставить понимать, потому что ваше образование основано на утопии Андреэ "Христианополь". И стремится протестантскую идею о втаскивании всей паствы в царство божие воплотить в жизнь. Об Андреэ и "Христианополе" никто не помнит, но действие по тому же плану продолжается. Вы являетесь представителем одного крыла реализаторов этого плана, ваши оппоненты - другого. Но и то, и другое - дорога в никуда. По одной простой причине - в основе плана Андреэ лежит ложь о равенстве людей.
logpoint
Oct. 8th, 2008 09:32 am (UTC)
А как же с прямой цитатой автора "Все люди разные"?
(no subject) - ex_navosvet - Oct. 8th, 2008 11:10 am (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Oct. 8th, 2008 12:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - garvey_r - Oct. 8th, 2008 01:05 pm (UTC) - Expand
garvey_r
Oct. 8th, 2008 09:27 am (UTC)
В доказательстве о прямом угле треугольника пропущен один важный щаг:
"Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга"
Это очевидно(графически), но требует доказательства.
Строго говоря, не ясно, почему вообще вершина "отзеркаленного" треугольника "ляжет" на окружность.

Играть с симметрией опасно: я в 8-м классе нашел очень простое доказательство постулата Эвклида о параллельных прямых, основанные на симметрии и очевидности.
Точное место, где ошибка мне неизвестно до сих пор :-)
logpoint
Oct. 8th, 2008 09:31 am (UTC)
А ее и нет, скорей всего, этой ошибки :) Возможно, потому, что плоскость была очевидно плоской :)
(no subject) - garvey_r - Oct. 8th, 2008 09:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - logpoint - Oct. 8th, 2008 09:58 am (UTC) - Expand
(no subject) - garvey_r - Oct. 8th, 2008 10:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - logpoint - Oct. 8th, 2008 12:49 pm (UTC) - Expand
(no subject) - garvey_r - Oct. 8th, 2008 01:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - garvey_r - Oct. 8th, 2008 09:36 am (UTC) - Expand
да я прочитал вроде - neo_der_tall - Oct. 9th, 2008 10:47 pm (UTC) - Expand
Re: да я прочитал вроде - fregimus - Oct. 9th, 2008 11:03 pm (UTC) - Expand
(no subject) - timur0 - Oct. 8th, 2008 09:43 am (UTC) - Expand
:) - femme_amoureuse - Oct. 30th, 2008 12:21 am (UTC) - Expand
(no subject) - bintree - Oct. 8th, 2008 10:05 am (UTC) - Expand
fregimus
Oct. 8th, 2008 08:19 pm (UTC)
Попробуйте учиться сами. Кому-то это бывает проще. Есть книги Перельмана и Клиффорда Пиковера (не знаю правда, переводились ли последние) с замечательными задачами. Попробуйте найти хороший учебник. Обратитесь в университет к математикам — возможно, удивитесь, но они любят такие вопросы — чтобы они посоветовали книги и/или математический кружок, если на это есть время. Свое образование можно вообще получить самому, если прикладывать для этого усилия; не такие уж и большие, между прочим. Попробуйте!
(no subject) - bintree - Oct. 9th, 2008 03:35 am (UTC) - Expand
arno1251
Oct. 8th, 2008 10:15 am (UTC)
Восхищен доказательством прямого угла.
fregimus
Oct. 8th, 2008 08:20 pm (UTC)
Ага!
а зря 8) - neo_der_tall - Oct. 9th, 2008 06:25 pm (UTC) - Expand
1istik_figi
Oct. 8th, 2008 10:44 am (UTC)
Опечатка, кажется не указана выше : "вводятся экспоненциальные и логарифмические функции, несмотря на то, что они являются алгебраическими". Здесь, вероятно, должно быть не потому.
fregimus
Oct. 8th, 2008 08:28 pm (UTC)
Спасибо, что заметили! Тут «не» пропущено. Не являются. Они относятся к функциональному анализу.
kanaj
Oct. 8th, 2008 11:46 am (UTC)
Вялікі дзякуй за пераклад.
alphyna
Oct. 8th, 2008 03:31 pm (UTC)
а мы в школе ставили знак = между геометрическими объектами.
gdt
Oct. 8th, 2008 03:55 pm (UTC)
хорошая статья.

> но она едва проступает через эту запись, словно через закопченное стекло.

в оригинале цитата из Библии, по-русски: "как бы сквозь тусклое стекло, гадательно".
fregimus
Oct. 8th, 2008 08:23 pm (UTC)
В оригинале: As a matter of fact, the idea of the first proof is quite pretty, albeit seen as through a glass, darkly. Не припомните, на какое место это отсылка?
(no subject) - gdt - Oct. 9th, 2008 12:23 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 9th, 2008 11:53 pm (UTC) - Expand
rwalk
Oct. 8th, 2008 11:26 pm (UTC)
Прочитал снова - теперь уже в Вашем переводе - пассаж про вписанные углы. Не согласен с автором принципиально. Воспроизведу тут отрывок из моего предыдущего коммента

Очень странно, что автор не отдает себе отчета в том, что возможность решения задачи чисто техническим применением математического аппарата является ИДЕЕЙ куда более сильной, чем различные псевдоолимпиадные красивости. Фраза

No mathematician works this way. No mathematician has ever worked this way. This is a complete and utter misunderstanding of the mathematical enterprise.

вообще черт знает что. Именно так он и работает очень часто. Конечно, зависит от стиля математика - есть "решатели задач", а есть "создатели теорий". Но в любом случае бывает, что достаточно всего лишь "включить автопилот" - и в этом тоже сила математики.


Многочисленные математические формализмы (например, такая классика, как декартовы координаты или дифференциальное исчисление) как раз позволили заменить штучное рассмотрение отдельных частных случаев совершенно единообразной универсальной техникой.

Кстати, теорема, послужившая "мальчиком для битья" на самом-то деле формулируется и доказывается для произвольных вписанных углов. При "формальном подходе" доказательство по сушеству то же самое (оно дается в классическом учебнике Киселева и, на мой взгляд, эстетически ничуть не уступает приводимому автором, а содержательно его существенно превосходит), а вот "красивое" доказательство на обший случай естественным образом не переносится.
fregimus
Oct. 9th, 2008 01:37 am (UTC)
Мне кажется, что Вы с ним друг друга не поняли. :-) Он не имеет в виду, кажется, что технику следует отвергать.

Мне кажется, «так» здесь не следует понимать как «применяя технику вообще» (тогда и правда выходит бессмыслица), а «применяя технику так, как ее применяют в школе в вышеприведенном примере» — вместо того, чтобы посмотреть и увидеть, тянуть длинное доказательство очевидного.
(no subject) - fregimus - Oct. 9th, 2008 01:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - rwalk - Oct. 15th, 2008 07:02 pm (UTC) - Expand
e_leshka
Oct. 9th, 2008 07:41 am (UTC)
Огромное спасибо за перевод! Встречное рукопожатие от гуманитария. Когда-то говорилось, что в предмете столько науки, сколько в нём математики. От себя могу добавить, что в предмете столько же искусства, сколько в нём любви.

Я так понимаю, что этот перевод ещё нигде не опубликован, кроме Вашего журнала?
fregimus
Oct. 9th, 2008 10:31 am (UTC)
Да, печальная статья. Очень печальная. Я несколько лет назад надеялся, что хоть ребенок мой проживет жизнь с водопроводом и электричеством, — а теперь уж, боюсь, что и сам доживу до средневековья. Удивительно — западная цивилизация в одном шаге от пропасти, идет в нее бодрым шагом, и делает вид, будто пропасти не видит. Как будто пропасть этим можно обмануть…

Я еще вычитаю его и выложу целым файлом. Если хотите где-то перепечатать, то дождитесь, пожалуйста. К следующей неделе должно быть готово. Корю себя, что с автором так и не связался, а надо бы. Тоже сделаю.
(no subject) - e_leshka - Oct. 9th, 2008 11:08 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Oct. 9th, 2008 12:07 pm (UTC) - Expand
(no subject) - e_leshka - Oct. 9th, 2008 12:27 pm (UTC) - Expand
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
( 93 comments — Leave a comment )