L. Fregimus Vacerro (fregimus) wrote,
L. Fregimus Vacerro
fregimus

Математические модальности

Началось все с дуэли биологических — хотя вернее будет сказать, научных вообще — познавательных модальностей в «Диалоге» Иванова-Петрова. Процитировать здесь что-то центральное я здесь не могу: это цельный текст, который возможно читать лишь от начала и до конца, и любой отрывок, вырванный из контекста, мысли верно не передаст. Для понимания дальнейшего его нужно прочитать.

В обсуждении же случился разговор о том, имеется ли в современной математике что-либо подобное, а именно, модальности, несущие несовместимые аппараты понятий. Не следует здесь понимать это как противостояние школ или теорий: разные моды вполне могут быть доступны одному человеку, но не могут использоваться одновременно для описания явления. В данном случае это несовместимые моды редукционизма и холизма. К математике эти понятия, конечно же, неприменимы принципиально; вопрос тут в том, есть ли, тем не менее, в ней подобное разветвление мыслительных дорожек?



nickel1
Мне хочется, чтобы математики (я не математик) привели здесь примеры каких-то своих, аналогичных, насколько это возможно, споров. Мне кажется, это было бы поучительно…

deadkittten
Мне кажется, что этому спору в математике соответствовал спор между сторонниками "натуральной арифметики" (то есть, где числа, условно говоря, соответствовали количеству предметов) и сторонниками "типографской теории чисел" (где числа — просто таких хитрые значки на бумаге). Но эти споры отгремели давным давно, оставив "натуральныю арифметику" для школ и "типографскую теорию" для математических ВУЗом. Вполне мирно они уживаются не считая того, что на первом курсе ВУЗа ученикам говорят "а теперь забудьте то, что вы раньше учили"...

slavikmad
А ведь на самом деле примиряет эти две арифметики некоторый структурализм. Важны структуры, с которыми ведётся работа, а не конкретные объекты, которые в них подставляются. Но, однако же, если задумываться о том, что кроме закорючек есть ещё и абстракция наборов реальных объектов, а потом можно задуматься и о том, откуда берётся аксиома выбора, если мы имеем дело не просто с [произвольным набором] закорючек и аксиом для построения структур... Наверное, сегодня это считается вредным для математика. И какой-то резон в этом есть. Для него не должны появляться арбитры для математики вне математики.

Биологу же придётся подчиняться двум арбитр[а]м…

Формальную логику можно понимать как абстракцию описания причинно-следственных связей между объектами внешнего мира. Натуральные числа можно воспринимать как абстракцию наборов объектов внешнего мира. Программа обосновании математики логицизма, как я себе это представляю, отталкивалась от таких взглядов. Нужно было обосновать математику за счёт логики. А логика в указанном смысле представляется обоснованной, либо представляется шагом к обоснованию.

Но программа логицизма встретила на своём пути проблемы. В частности, результаты, которые можно получить с привлечением аксиомы выбора, нельзя получить чисто логицистски, хотя проблема с тем, что нужно добавлять "левые" аксиомы стояла ещё более остро. Просто аксиома выбора у меня всплыла, как наиболее скандальная из аксиом.

Формализм же говорит, что числа — закорючки. Аксиомы — произвольные правила работы с закорючками.

fregimus
Не думаю, что в математике подобные фундаментальные разногласия можно обнаружить сейчас. Существенно различны взгляды на основания математики, о том, грубо говоря, является ли математика описанием действительности или же это игра воображения. Однако, это ничего не меняет на прочих уровнях математики — люди, занимающиеся математикой, все-таки говорят на одном языке, хотя философские взгляды на основания математики могут различаться радикально. Можно это сравнить, скорее, с неверой Эйнштейна в квантовую механику — он не считал, что она является фундаментальным описанием мира, но не считал ее неверной, и пользовался ею во всю.

nickel1
"люди, занимающиеся математикой, все-таки говорят на одном языке"
Я думал, может кто-то с этим будет спорить?

Я, нематематик, интуитивно так думаю… Но точит сомнение, вдруг не все математики так думают?

fregimus
Утверждение достаточно общее, здесь можно по-разному понимать, что такое метафора «языка». Например, одно и тоже может быть выражено на языке теории групп или языке теории категорий. Но мое утверждение разумеется иначе. Придерживающиеся платонистских взглядов на основания математики выражаются на языке теории групп совершенно понятно для придерживающихся противоположных взглядов на этот вопрос. Философское понимание основ не сказывается на применимости даже весьма глубоких, близких к основаниям понятий. Вот здесь, мне кажется, ситуация в математике различается с таковой в биологии, где именно аппарат понятий оказывается различным (надеюсь, что Иванов-Петров меня поправит, если я заблуждаюсь).

Давайте попробуем у математиков спросить. Сейчас напишу.



Сим и испрашиваю ваших мыслей на эту тему. Соображения по поводу других наук услышать тоже было бы, само собой, интересно.

Доб. Вот еще в каких направлениях можно поразмышлять. Первое — язык описания сложности и хаоса. Мне кажется, такого еще толком нет (в кибернетическом смысле сложности). Второе — Мандельброт, математика фракталов. Это связано с предыдущим.

Доб. Очень верный пример модальности в комментариях привел poslednii_krot: конструктивизм. Действительно, несовместимый с традиционным в одном описании математической сущности язык.
Tags: math, science
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 32 comments