?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Началось все с дуэли биологических — хотя вернее будет сказать, научных вообще — познавательных модальностей в «Диалоге» Иванова-Петрова. Процитировать здесь что-то центральное я здесь не могу: это цельный текст, который возможно читать лишь от начала и до конца, и любой отрывок, вырванный из контекста, мысли верно не передаст. Для понимания дальнейшего его нужно прочитать.

В обсуждении же случился разговор о том, имеется ли в современной математике что-либо подобное, а именно, модальности, несущие несовместимые аппараты понятий. Не следует здесь понимать это как противостояние школ или теорий: разные моды вполне могут быть доступны одному человеку, но не могут использоваться одновременно для описания явления. В данном случае это несовместимые моды редукционизма и холизма. К математике эти понятия, конечно же, неприменимы принципиально; вопрос тут в том, есть ли, тем не менее, в ней подобное разветвление мыслительных дорожек?



nickel1
Мне хочется, чтобы математики (я не математик) привели здесь примеры каких-то своих, аналогичных, насколько это возможно, споров. Мне кажется, это было бы поучительно…

deadkittten
Мне кажется, что этому спору в математике соответствовал спор между сторонниками "натуральной арифметики" (то есть, где числа, условно говоря, соответствовали количеству предметов) и сторонниками "типографской теории чисел" (где числа — просто таких хитрые значки на бумаге). Но эти споры отгремели давным давно, оставив "натуральныю арифметику" для школ и "типографскую теорию" для математических ВУЗом. Вполне мирно они уживаются не считая того, что на первом курсе ВУЗа ученикам говорят "а теперь забудьте то, что вы раньше учили"...

slavikmad
А ведь на самом деле примиряет эти две арифметики некоторый структурализм. Важны структуры, с которыми ведётся работа, а не конкретные объекты, которые в них подставляются. Но, однако же, если задумываться о том, что кроме закорючек есть ещё и абстракция наборов реальных объектов, а потом можно задуматься и о том, откуда берётся аксиома выбора, если мы имеем дело не просто с [произвольным набором] закорючек и аксиом для построения структур... Наверное, сегодня это считается вредным для математика. И какой-то резон в этом есть. Для него не должны появляться арбитры для математики вне математики.

Биологу же придётся подчиняться двум арбитр[а]м…

Формальную логику можно понимать как абстракцию описания причинно-следственных связей между объектами внешнего мира. Натуральные числа можно воспринимать как абстракцию наборов объектов внешнего мира. Программа обосновании математики логицизма, как я себе это представляю, отталкивалась от таких взглядов. Нужно было обосновать математику за счёт логики. А логика в указанном смысле представляется обоснованной, либо представляется шагом к обоснованию.

Но программа логицизма встретила на своём пути проблемы. В частности, результаты, которые можно получить с привлечением аксиомы выбора, нельзя получить чисто логицистски, хотя проблема с тем, что нужно добавлять "левые" аксиомы стояла ещё более остро. Просто аксиома выбора у меня всплыла, как наиболее скандальная из аксиом.

Формализм же говорит, что числа — закорючки. Аксиомы — произвольные правила работы с закорючками.

fregimus
Не думаю, что в математике подобные фундаментальные разногласия можно обнаружить сейчас. Существенно различны взгляды на основания математики, о том, грубо говоря, является ли математика описанием действительности или же это игра воображения. Однако, это ничего не меняет на прочих уровнях математики — люди, занимающиеся математикой, все-таки говорят на одном языке, хотя философские взгляды на основания математики могут различаться радикально. Можно это сравнить, скорее, с неверой Эйнштейна в квантовую механику — он не считал, что она является фундаментальным описанием мира, но не считал ее неверной, и пользовался ею во всю.

nickel1
"люди, занимающиеся математикой, все-таки говорят на одном языке"
Я думал, может кто-то с этим будет спорить?

Я, нематематик, интуитивно так думаю… Но точит сомнение, вдруг не все математики так думают?

fregimus
Утверждение достаточно общее, здесь можно по-разному понимать, что такое метафора «языка». Например, одно и тоже может быть выражено на языке теории групп или языке теории категорий. Но мое утверждение разумеется иначе. Придерживающиеся платонистских взглядов на основания математики выражаются на языке теории групп совершенно понятно для придерживающихся противоположных взглядов на этот вопрос. Философское понимание основ не сказывается на применимости даже весьма глубоких, близких к основаниям понятий. Вот здесь, мне кажется, ситуация в математике различается с таковой в биологии, где именно аппарат понятий оказывается различным (надеюсь, что Иванов-Петров меня поправит, если я заблуждаюсь).

Давайте попробуем у математиков спросить. Сейчас напишу.



Сим и испрашиваю ваших мыслей на эту тему. Соображения по поводу других наук услышать тоже было бы, само собой, интересно.

Доб. Вот еще в каких направлениях можно поразмышлять. Первое — язык описания сложности и хаоса. Мне кажется, такого еще толком нет (в кибернетическом смысле сложности). Второе — Мандельброт, математика фракталов. Это связано с предыдущим.

Доб. Очень верный пример модальности в комментариях привел poslednii_krot: конструктивизм. Действительно, несовместимый с традиционным в одном описании математической сущности язык.

Tags:

Comments

( 32 comments — Leave a comment )
ushastyi
Jul. 23rd, 2009 02:05 pm (UTC)
Скорее, подобный спор может быть между физиками, изучающими классическую механнику, и квантовую. Аналогия с биологией достаточно близкая.

Математика же -- это абстрактная наука уже давно, задаваемая в частности аксиоматикой. Поэтому она в современном виде УЖЕ оторвана от реальности, что делает спор типа классического и малекулярного биолога невозможным. Однако в прошлом, было несколько "системных переходов", повышающих уровень абстракции, и те моменты всегда возникал спор между классическими и новымм идеями. Например во времена греков, пифагорейцев, признавались только рациональные числа. Похожий спор мог бы быть между сторонниками рациональных чисел и действительных. Рациональные моделируются в природе, действительные -- нет, это абстракция.

Канторовская теория множеств расколола математический мир надвое.

Также похожий спор был на рубеже 20го века между логистами (например, Гильберт, Рассел и др.) и интуитивистами (Пуанкаре). Логисты считали, что математику можно строго логически описать, заменить все доказательства формулами логического вывода и в экстремальном случае вообще убрать математика, заменив его машиной. Интуитивисты отстаивали, что это невозможно, и без интуиции математика развиваться не может, не все выводится логически и в сами правила логического вывода основываются на интуитивных моделях. Интуитивисты оказались правы в конце концов, но математический аппарат и старания логистов дали очень многое для понимания оснований математики, а некоторые элементы прочно вошли в математический язык.

Сейчас все разделы математики одинаково важны, хотя развиваются по-разному. Например, несмотря на то, что функциональный анализ обобщает понятие функций, и в нем доказываются в общем виде многие теоремы классического математического анализа, эти резултаты сложно применять на практике, где удобнее пользоваться частными, но более простыми, классическими методами. А никакой анализ не выручит в магазине, когда вам надо отсчитать сдачу, пользуясь простой арифметикой.
fregimus
Jul. 24th, 2009 08:21 am (UTC)
Посмотрите ниже — Последний Крот, как мне кажется, привел очень хорошие пример, конструктивизм. Там действительно иной аппарат понятий.

Логисты против интуиционистов — нет, не совсем то, что мы тут ищем. Они все равно на одном языке говорят.
falcao
Jul. 23rd, 2009 02:28 pm (UTC)
проблемы оснований
Мне эта проблематика как раз очень интересна, потому что всё, что связано с основаниями математики, для меня как бы "приоритетно". Но я считаю, что здесь нужно сначала выйти на уровень корректной постановки самих вопросов. В популярной литературе они часто ставятся, но не на должном уровне. Первоочередной, как правило, является задача ознакомления с содержательным аспектом проблемы. Поэтому могут писать про ту же аксиому выбора какой-то "джентльменский набор" сведений. Что представляет собой сама аксиома, какие у неё есть "парадоксальные" следствия, как обстоит дело с формальной выводимостью, и так далее. Но я ни разу (sic!) не видел ни одного примера "выруливания" на нужный мне уровень. Об этом написаны горы всего, но везде происходит какое-то блуждание "вокруг да около". Начинают говорить вновь и вновь про реализм и номинализм, про все прочие вещи, а суть каждый раз ускользает. Главным признаком "неблагополучия" для меня здесь является отсутствие какого бы то ни было "поступательного движения": все разговоры вновь и вновь начинаются с одного и того же места.

Обсуждать все эти вещи надо, но надо как-то отмечать "пройденные этапы". Я считаю это очень важным условием обсуждения. Ну вот давайте попробуем с чего-то начать, придерживаясь этого принципа.

Прежде всего, что я думаю по поводу точки зрения "формализма". Я рассматриваю это как один из возможных подходов, но считаю его принципиально недостаточным. В каких-то случаях мы можем считать, что вот мы работаем по каким-то установленным правилам с чисто символическими объектами, и в этом заключён весь смысл нашей деятельности, а ничего другого за этим видеть и не надо. Я же думаю, что такая точка зрения вредна, потому что какие-то важные вещи при этом "заметаются под ковёр". И мне хочется спросить: а с какой стати? Если кто-то мне скажет, что интуиция-де "ненадёжна", а "формалистега" -- надёжна, то это просто будет неправда. Надёжнее интуиции вообще ничего нет, и этот тезис я считаю принципиальным. Во всех случаях каких-то "трений" или "конфликтов" я всегда вижу возможность найти какого-то другого "виновнега". Я сейчас более подробно обсуждать не буду, но если Вам это интересно, то я могу как-то развить идею. Может быть, в отдельном посте.

А когда говорят, что аксиомы -- это ТОЛЬКО правила работы с "крючочками", то это как минимум "лукавство". Мысль о том, что так МОЖНО смотреть, забыв от остальном -- она спорна, но в принципе допустима. А полностью отрываться от содержания -- это уже явная неправда, и к тому же она отвращает своего рода "интеллектуальной трусостью", боязнью изучать не до конца понятное явление.

Самым простым способом разрешения части возникающих противоречий было бы занятие точки зрения "математического платонизма". Лично я именно такой позиции придерживаюсь: математика изучает некий вполне объективный "мир" того, что можно назвать "математическими объектами". Никаких "издержек" в связи с занятием такой позиции я не вижу. И наоборот: точка зрения, что математика якобы находится "в нашем сознании", мне представляется очень трудной для отстаивания. Я не знаю ни одного её приверженца, кто смог бы внятно разрешить хотя бы часть трудностей, которые неизбежно приходится разрешать в этом случае.

И последнее: если противники "платонизма" укажут мне на примеры типа аксиомы выбора, то у меня есть на это готовый ответ. Для меня несомненно то, что для какого-то из "мира множеств" аксиома выбора справедлива. Платонизм лишь постулирует существование таких "миров", но не говорит ничего о том, сколько их. В других "мирах", с другим "устройством", аксиома выбора не выполняется. И ничего удивительного здесь нет. Точно так же обстоит дело вокруг евклидовой и неевклидовой геометрий. А с этим вроде давно уже разобрались. Думаю, что и с теорией множеств (или "теориями множеств") так же точно разберутся. При этом допустима ситуация, когда мы будем в итоге знать о множествах больше, чем сейчас, обнаружив некий новый взгляд на это дело. Потому что ниоткуда не следует, что аксиоматика Цермело - Френкеля есть единственно возможная формализация. Более того, ниоткуда не следует даже то, что всё надо формулировать именно на этом языке!
yurvor
Jul. 23rd, 2009 03:06 pm (UTC)
Re: проблемы оснований
Замечу одну важную вещь.

"Если кто-то мне скажет, что интуиция-де "ненадёжна", а "формалистега" -- надёжна, то это просто будет неправда. Надёжнее интуиции вообще ничего нет, и этот тезис я считаю принципиальным."

Мне кажется, тут нет оснований не то, чтобы для спора, а даже для подобных сравнений. Нельзя сказать, что надёжней, интуиция или формалистика, потому что у них нет подходящего поля для сравнения. Интуиция замечательно работает при образовании новых гипотез, поле работы формалистики - доказательство (или опровержение) каждой из этих гипотез.

Это совершенно разные поля, и смешивать их не нужно. Если же мы попробуем, получим полную лажу. Новые гипотезы с помощью формалистики добываются с ужасным скрипом - фактически только то, что случайно просмотрено и не обнаружено. Интуиция же в деле доказательства гипотез тоже так себе помошник, работает из рук вон плохо...

Так же и здесь: "А когда говорят, что аксиомы -- это ТОЛЬКО правила работы с "крючочками", то это как минимум "лукавство"."

Когда так говорят, это как минимум безграмотность. Аксиомы - это утверждения, а правила работы - это правила получения одних утвеждений из других. Это в принципе разные вещи, разные поля.

Думаю, если попробовать думать о разграничениях понятий и их областей применимости, большинство проблем решатся сами собой :)
falcao
Jul. 23rd, 2009 08:58 pm (UTC)
мазками
Я здесь говорил нарочито упрощённо, так как предполагал, что все, кого могут заинтересовать эти темы, как бы в курсе самого дела. Поэтому о многом говорил в форме "мазков".

Вопрос о соотношении логики и интуиции -- это "боян", и поэтому прорисовывать все детали я счёл излишним. И тут "поле" не только есть, а оно порядком истоптано и утрамбовано! :)

Проблема гораздо серьёзнее того, о чём Вы говорите. Это же вопрос не на уровне того, где надо ходить, где бегать, а где ползком ползти. Тут же прежде всего имелся в виду разговор о надёжности знания. Когда появились разные "монстры" и "парадоксы", то людям это не понравилось. Они стали говорить: вот, мы рассуждаем интуитивно, и это приводит к ошибкам, а надо рассуждать строже. Всё формализовать, чтобы везде "логега" была. Вы наверняка всё это знаете, а пересказывать известные вещи всегда скучно.

То, что Вы называете "интуицией", я называю "догадкой". Под интуицией же понимается "непосредственное усмотрение истины".

По поводу аксиом -- ну ведь можно же было обратить внимание на стиль фразы? Это же не из "учебнега", потому что в последнем не написали бы "крючочки"! То есть тут и не такие волности речи позволительны. Более того, тут достаточно было просто "обозначить" любым способом всем известную идею насчёт "комбинаторной игры в символы". Это же всё "бояны", и я обычно не люблю их лишний раз туда-сюда растягивать :)

А понятия все давно разграничены. Это совершенно детская проблема. Ясно, что она ничего не решает -- вопросы обсуждаются весьма содержательные.
fregimus
Jul. 24th, 2009 12:15 pm (UTC)
Вы, думаю, знаете уже, что я категорически против интуиционизма в чистом виде. Если мы положим, что можно «видеть» сознанием, постичь озарением нечто, не выводимое из формальной системы, то из этого последует с печальной неизбежностью неформализуемость сознания, в силу тезиса о вычислительной эквивалентности — нам придется добавить для него как бы уровень «минус один» в иерархию Хомского. Тут у нас получится, что в сознании сидит некая «душа» или «свобода воли». Вот появления этой штуки мне хотелось бы избежать. Иначе тут мы приходим к непостижимости сознания, а, значит, недостижимости истины. Если положить, что истина достижима только интуицией, то сразу получится, что истину будто можно постичь, только если она непостижима. Вот такое неформальное опровержение «от противного».

Мне кажется, что противоречие здесь возникает из-за того, что отделяется математик от математики. Мы с Вами — алгоритмы, формальные системы в действии. Математический формализм вложен в бо́льшую формальную систему — сознание математика (оно, естественно, включает в себя и коллективную часть сознания — математики, взаимодействуя между собой, создают общее сознание, ноосферу). При таком рассмотрении никакого противоречия я не вижу вообще.
falcao
Jul. 24th, 2009 01:22 pm (UTC)
превращения
Я вообще не являюсь приверженцем интуиционизма типа брауэровского, и считаю, что это явление возникло в силу нескольких исторических случайностей или недоразумений. Оттуда можно извлечь кое-какие "экстракты", но вообще-то оно неинтересно.

Когда я говорю о первичности интуиции, то утверждаю нечто самоочевидное. Типа того, что мы видим глазами. Вы же вместо этого предлагаете что-то в высшей степени сомнительное -- какую-то выводимость из формальной системы. Тут сразу можно задать много вопросов. Какой именно системы? Их ведь много! Кроме того, Вы при таком подходе не отменяете интуицию, а лишь ограничиваете. То есть говорите, что мы только на начальном этапе познания как-то используем "контрабандные методы", потом созовём Всемирный Съезд, на котором партия и правительство утвердят Правильные Аксиомы, и дальше мы будем пользоваться только ими. А на "Малую Арнаутскую" больше ни-ни.

Но ведь такой проект несостоятелен уже по причине теоремы Гёделя о неполноте! (Это тот редкий случай, где она используется не "всуе" а в точности по назначению.) Даже программу Гильберта, если её понимать "модифицированно", теорема Гёделя не отменяет, а вот проект "раз и навсегда" задать нечто "правильное" она отменяет в принципе. То есть говорит о том, что такого мы не только не имеем, но и не можем иметь.

Я понимаю, что именно Вас не устраивает, но идти-то надо в любом случае от правды, а не от желаний. К тому же Вы рассуждаете далее очень неаккуратно. То есть на самом деле нет тех "нежелательных" для Вас следствий, а испугались Вы какого-то "призрака".

Давайте я сразу приму, что мы -- "алгоритмы". Но ведь "мы" не есть нечто "заданное", и с нами происходят изменения. Главное же не в этом, а в том, что мы снабжены "датчегами". То есть на "ленте" нашей с Вами "машины Тьюринга" написана вся "Книга Природы", и мы её постоянно читаем. Наши ресурсы ограничены (хотя и "растяжимы"), и поэтому у каждого из нас из "Книги" процитированы разные "файлы". Но мы их не сами выработали, вот что важно! И мы, перерабатывая информацию чисто "машинным" образом, её во внешний мир "скидываем", и это на нём сказывается. (Собственно, это и есть вполне материалистическая и понятная интерпретация несколько "туманного" термина "ноосфера".) Поэтому ничего того, что Вы пытались вывести в качестве "нежелательного", просто нет.

С понятием "души" или "свободы воли" всё несколько сложнее. Я за то, чтобы убрать "мистегу" изначально, но смотрите что тогда получается. Допустим, у Вас есть некий сложный текст. Кто-то говорит "душа", а мы это отрицаем: всего-навсего текст, и его можно скопировать. Но тут вся проблема в том, что копия текста равна по сложности ему самому. "Душа" же не то, что нельзя скопировать, а то, что нельзя "свести". Если текст сложный, то его описание равно по сложности ему самому. Конечно, внешнее описание нас с Вами возможно, как и многократные "тиражи". Но это не означает отсутствие "свободы воли". Вы думаете, что скопировав нечто, Вы получили к нему "доступ" и "ключ", а потому не оно "властвует", а Вы над ним? Но ведь это не так: оно "властвует" над Вами своей сложностью. Вы, копируя, вынуждены вдумываться в каждую его "буковку", то есть Вы сами становитесь этим "текстом"! То есть "подчинить" его Вы можете, но только ценой "превращения".

Мне кажется, ошибка тут была совершена ещё на той стадии, когда считалось, что в "тексте" заведомо не может быть "души". Ясно, что так думали люди, которые не знали о возможности построения универсальной машины Тьюринга. На её примере, кстати, описанный мной выше эффект ещё заметнее. Вот у Вас есть явное описание такой машины -- конечный объект, ничего "загадочного". Вы начинаете думать: ага, щяс мы тебя! :) И начинаете вникать в её устройство, исполнять её команды. А над Вами сбоку хихикают: человек хотел подчинить машину, а подчинился ей сам, стал её "обслуживать"! :)

Ваше рассуждение "от противного", кстати, очень неаккуратное. Это не так важно, но просто "правды ради". Описанный Вами парадокс можно так же точно "смоделировать" на базе мира в целом. Тут не надо привлекать сознание. Истина заключена в мире, а мир как бы "непостижим". По крайней мере, он представляется нам слишком огромной "базой данных". Мы не можем его объять "целиком", но это не отменяет возможности "читать" какие-то его "фрагменты".
Re: превращения - yurvor - Jul. 24th, 2009 02:33 pm (UTC) - Expand
интуиция и "секс" :) - falcao - Jul. 24th, 2009 08:21 pm (UTC) - Expand
Re: превращения - fregimus - Jul. 24th, 2009 11:14 pm (UTC) - Expand
конечность и копирование - falcao - Jul. 25th, 2009 01:53 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jul. 26th, 2009 05:04 am (UTC) - Expand
законнекченность - falcao - Jul. 26th, 2009 09:01 am (UTC) - Expand
Re: законнекченность - fregimus - Jul. 26th, 2009 09:29 am (UTC) - Expand
направленность мысли - falcao - Jul. 26th, 2009 09:48 am (UTC) - Expand
Re: направленность мысли - fregimus - Jul. 26th, 2009 10:01 am (UTC) - Expand
предотъездное - falcao - Jul. 26th, 2009 10:27 am (UTC) - Expand
Re: предотъездное - fregimus - Jul. 26th, 2009 10:28 am (UTC) - Expand
на отдых - falcao - Jul. 26th, 2009 03:20 pm (UTC) - Expand
fregimus
Jul. 24th, 2009 08:25 am (UTC)
Re: Ответы у ИП
Нет, Юра, это мимо цели. КВД пример гораздо более узкий. Мы же говорим не о различных описательных моделях, а о различных подходах в принципе, несовместимых. Ср. холизм/редукционизм.
yurvor
Jul. 24th, 2009 12:54 pm (UTC)
Re: Ответы у ИП
А холизм и редукционизм, между прочим, совместимы. Ничего особенного :)
Re: Ответы у ИП - fregimus - Jul. 24th, 2009 11:16 pm (UTC) - Expand
poslednii_krot
Jul. 23rd, 2009 09:29 pm (UTC)
А мне приходит в голову давний спор между конструктивистами и традиционными математиками. Если совсем грубо, конструктивисты работают только с теми объектами, которые можно построить в явном виде, традиционалисты же считают достаточным наличие непротиворечивого определения, чтобы считать объект существующим.
Скажем, рациональное число - конструктивный объект. Любое рациональное число можно записать на бумаге в виде дроби. Легко можно указать алгоритм вычисления суммы или произведения рациональных чисел. А вот что такое действительное число? Бесконечная десятичная дробь? Как можно утверждать, что мы задали действительное число, если мы никогда не сможем выписать все его цифры? И вообще, математических знаков (вместе с буквами языка) - конечное число. И в любой формуле или фразе - конечное число знаков (пусть сколь угодно большое, но конечное). Значит, все числа, которые мы, хотя бы теоретически, можем каким-то образом задать образуют счетное множество! Множество меры ноль, практически ничто, по сравнению с остальными действительными числами.
Оказывается, мы даже и не знаем (и никогда не узнаем!), что там - в подводной части айсберга чисел. Мы просто никогда не сможем на нее указать - не хватит знаков языка. Эти таинственные объекты только иногда дают о себе знать удивительными контринтуитивными фактами - типа возможности разрезать шар на конечное число частей и сложить из них два шара.
Классический анализ плавает на этом айсберге, делая вид, что подводная часть не существует (а некоторые даже бросаются в самую пучину). Конструктивизм же предлагает стоять на твердой земле, что приводит (удивительным образом!) к значительно более трудоемким доказательствам даже самых простых фактов.
Мне кажется, спор между этими фракциями имеет много общего с тем, который описывал Иванов-Петров. Разница между ними в большой степени мировоззренческая - каким мы видим объект изучения и что называем научным подходом. Каждый из подходов навязывает свои вопросы и свои критерии проверки ответов. Но, в дальней перспективе, победа любого из них приведет к обеднению научной картины мира.
fregimus
Jul. 24th, 2009 08:22 am (UTC)
Ага, спасибо. Коструктивизм — замечательный пример, в самую серединку.

Да, победа любой из них приведет, это совершенно верно.
yurvor
Jul. 24th, 2009 12:58 pm (UTC)
Мне кажется, мировоззрение к этой разнице приплетать не стоит. Просто разные наборы аксиом - разные теории. Сравните геометрию Евклида и геометрию Лобачевского. Всё то, что Вы сказали, можно сказать и про эту пару. Но "спорят" ли они между собой? Нет, конечно! У одной одни аксиомы, у другой другие. Эти системы прекрасно сосуществуют вместе.

А спорят - люди :)
(no subject) - poslednii_krot - Jul. 24th, 2009 01:56 pm (UTC) - Expand
(no subject) - yurvor - Jul. 24th, 2009 02:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alexey_rom - Nov. 8th, 2009 05:27 pm (UTC) - Expand
alexey_rom
Nov. 8th, 2009 05:24 pm (UTC)
Я добавил бы ещё предикативизм как пример модальности.
fregimus
Nov. 9th, 2009 05:44 am (UTC)
Ведь это тоже попадает в класс формулировок оснований, не так ли? То есть — за пределы области споров об основаниях математики это «языковое различие» не распространяется. Или я не понимаю чего-то?
(no subject) - alexey_rom - Nov. 9th, 2009 02:08 pm (UTC) - Expand
( 32 comments — Leave a comment )