L. Fregimus Vacerro (fregimus) wrote,
L. Fregimus Vacerro
fregimus

Category:

Гедель 2

1   2   3  4  5  6  7

V. Кубики со смыслом

Никакого смысла в строках системы ХИХИ нет. Математика — игра ума. Математики любят играть в кубики и смотреть, как ведет себя система из кубиков, правила которой придуманы произвольно, но жестко соблюдаются. Эта игра интересна сама по себе; никакой другой ценности от нее математику не требуется.

Интересно, однако, понять, какое место занимают ФС в ряду прочих математических инструментов. Чтобы ФС «заговорила» о математике, нам потребуется наделить строки ФС смыслом. Смысл этот мы присваиваем только результату работы ФС; на самом процессе ее работы он не сказывается. Смысл этот, таким образом, определяется снаружи ФС.

Как осмыслить результат работы системы ХИХИ, я не представляю. Это не значит, что смысла нет, или что он есть, но неизвестен. Смысл мы придаем строкам по желанию, любые утверждения о его существовании бессодержательны. Возможно, что кто-то сопоставит строки этой системы с другим математическим объектом, и это даст толчок какой-то новой его идее.

Мы же сейчас рассмотрим другую ФС. Ее алфавит состоит из трех символов: { •, §, # }. Единственную строку •§•#•• будем считать верной по определению. Введем следующие два правила получения новых верных строк:

1. К верной строке можно приписать слева и справа по •, например, из верной строки •§•#•• выйдет по этому правилу ••§•#•••
2. Слева и справа от символа # в верной строке можно вставить по •: из строки •§•#•• получится •§••#•••

Применяя эти правила по очереди в разных сочетаниях, можно получить, например, такие строки (все они будут верными):

••§•••#•••••
••••§•#•••••
•••§•••#••••••

Вы наверняка уже заметили, что если заменить число звездочек на натуральное число и понимать § как операцию сложения, а # как равенство, строки эти можно осмыслить как 2+3=5, 4+1=5, 3+3=6. Я нарочно не сделал + и = символами алфавита нашей системы, а выбрал для этого § и #, чтобы подчеркнуть, что мы осмысливаем § как +, а # как = вне системы.

Кроме того, возможно и иное осмысление. Введем операцию «отнять от» и обозначим ее ÷, например, 1 отнять от 5 даст 4: 1÷5=4. Теперь мы можем задать иной смысл формальному результату: заменим § на =, а # на ÷, и получим тогда верные арифметические выражения: 2=3÷5, 4=1÷5, 3=3÷6.

Формальную систему можно осмыслить множеством способов — насколько хватит фантазии играющего в кубики.

Нелишне будет нам еще раз вспомнить, что результат работы ФС, все ее строки, можно пронумеровать натуральными числами6. Эта нумерация, само собой, тоже происходит вне системы: система не нумерует строк, это мы с вами, находясь за границей системы, их нумеруем.

VI. Семантика

До сих пор, мы четко разграничивали формальную («внутреннюю») и интерпретационную («внешнюю») стороны ФС. Сейчас мы с вами построим из ФС и ее избранной интерпретации новый объект, формальную систему со смыслом, или семантикой (ФСС). Каждый раз, когда вы читаете фразу «ФС говорит, что…», «ФС утверждает…», вы имеете дело с ФСС, включающей некоторую интерпретацию ее строк. Такие выражения — совершенно общее место в литературе. Мы, тем не менее, не случайно заострили внимание на различении синтаксиса системы (механических правил преобразования символов) и ее семантики — слоя, положенного поверх синтаксиса и предназначенного для осмысления результата ее работы.

Синтаксис ФС заключен в себе. Это означает, что нам ничего не стоит написать компьютерную программу, которая выполнит все преобразования строк. Семантика ФСС, с другой стороны, не замыкается на себя, но неизбежно обращается к другим понятиям. Чтобы осознать это, рассмотрим осмысление нашей предыдущей ФС в виде ФСС, описывающей сложение натуральных чисел.

Итак, договоримся, что звездочки • означают запись числа в единичной системе: количество звездочек означает натуральное число, равное этому количеству. К каким понятиям мы обратились здесь? Понятия натурального числа и количества. Количество мы, возможно, формализуем, но, опять же, через понятие натурального ряда (нам потребуются числа и операция увеличения на 1, или перехода к следующему числу в ряду). Таким образом, первое же наше смысловое правило привнесло внешнее понятие, именно, понятие натурального ряда, которое мы знали ранее.

Теперь определим § как операцию сложения, а # как равенство, как мы уже делали ранее. Это привнесет новые, уже знакомые нам арифметические понятия сложения натуральных чисел и сравнения их между собой. Результатом сложения является натуральное же число, например, складывая 3 и 4, получим 7. Результатом сравнения чисел может быть одно из двух значений: истина или ложь. Например, утверждение 2=2 истинно, а 2=5 ложно.

Легко показать, что наша ФСС производит все верные выражения для сложения натуральных чисел, и не выдает ни одного неверного7.

Давайте взглянем внимательно, как проходит наша новая, семантическая граница, что находится теперь внутри и вовне ФСС. Утверждение 2+2=4 выводится внутри семантики ФСС, той предметной области, в которой определена наша смысловая интерпретация. Однако, утверждение «2+2=4 истинно» лежит вовне нашей новой системы. Когда мы говорим о семантической интерпретации, следует отличать истинность, которую мы определяем для себя, сравнивая результат осмысления строк системы с «внешним миром», и выводимость, возможность получения строки-утверждения в ФС. Выводимость утверждения (в семантической области мы называем строки утверждениями) определяется формализмом системы. Истинность же «на самом деле» система сама по себе не утверждает; любое «на самом деле», какой бы смысл ни вкладывался в эти слова, находится всегда вовне системы.

Это утверждение, если мы с вами рассуждаем о такой простой системе, конечно же, тривиально. В дальнейшем, однако, когда мы рассмотрим более сложную ФСС, вынесение «истинности» за границу системы создает серьезные диалектические вопросы в понимании математики.

VII. Элементарная арифметика

ФСС, которую мы рассмотрели, порождает результат чрезвычайно тривиальный: перечисление всех выражений вида a+b=c с конкретными числами. Однако, далеко не все формальные системы так просты. Назначая правила синтаксиса и базовую семантику символов, мы можем получить и систему, которая, как оказывается, выводит теоремы элементарной арифметики!

Тоже мне, скажете вы, особое достижение — элементарная арифметика! Это ведь то, что мы к третьему классу уже все знали, сложение-умножение? Нет, неверно. Младшеклассникам, изучающим арифметику в школе, показывают даже не краешек, а тень этой математической горы! К элементарной арифметике (ЭА) относятся, например, задачи решения диофантовых уравнений, изучение простых чисел, и очень многое другое. К примеру, Великая теорема Ферма, остававшаяся недоказанной несколько веков, тоже относится к области арифметики. Вся современная компьютерная криптография имеет в своей научной основе арифметику. А элементарной мы называем такую систему арифметики вовсе не потому, что она очень простая, а потому, что она не требует основания в других разделах математики, строится на основе своих собственных аксиом. Геометрия Эвклида тоже будет в этом смысле элементарной геометрией, потому что она не требует для основания ничего, кроме своих собственных понятий и аксиом.

Так же, как и в геометрии, где не определяются некоторые понятия, например,точки или прямой, в арифметике тоже есть неопределимые понятия. Одно из них — интуитивно знакомое всем натуральное число. Хоть нам все интуитивно известно, что такое число, никакого определения числа арифметика не дает. Аксиомами задаются лишь их свойства, такие, как «для каждого числа есть ровно одно последующее число», «1 не следует ни за каким числом» и прочие. Устройством своих основ ЭА напоминает геометрию; хотя последней уделяется в школе определенное внимание, аксиоматическое определение арифметики в школе не упоминается вовсе.

В число теорем арифметики включаются, разумеется, и утверждения, широко известные под именем собственно теорем («для любого натурального числа существует превышающее его простое число»), и более частные утверждения, возникающие при решении отдельных задач («не существует трех простых чисел, больших 3, подряд через одно», т. е. для любого простого числа p>3, по крайней мере одно из p+2 и p+4 не является простым), и совсем уж тривиальные, не интересные, на первый взгляд, утверждения (например, «для любого числа а, 0+а=а»).

В этом популярном изложении не найдется места детальному описанию ФСС, производящей теоремы ЭА. Если вас интересуют подробности ее работы и устройства, лучше обратиться к [1] за популярным изложением или к [2] за глубоким математическим изъяснением предмета. Мы ограничимся только общими принципами ее построения, и сама теорема Геделя будет объяснена лишь «на пальцах», без надлежащих стройных формулировок и строгих доказательств.

1   2   3  4  5  6  7
__________________________________
6. Подумайте, как можно пронумеровать строки, порождаемые нашей системой.

7. Попробуйте, в качестве упражнения, доказать это.
Tags: ai, brain, math, scipop
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 52 comments