?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Неудавшаяся попытка критического прочтения

Русское название: Роджер Пенроуз. «Новый ум короля. О вычислительных машинах, разуме и законах физики». Номера страниц следуют в квадратных скобках за цитатами, и даются по изданию [Penrose 89]. Все переводы сделаны автором, изо всех сил старавшимся сохранить не только семантику, но и стилистику оригинала; последнюю, разумеется, не в ущерб первой. Ссылки на литературу в квадратных скобках и начинаются с фамилии автора. Ссылки на комментарии в конце статьи обозначаются «ножичко솻.

Эта книга захватывает читателя, захватывает новым, по крайней мере для вашего скромного собеседника, методом: в течение всего изложения автор обещает объяснить множество вещей, от необходимости квантово-механического объяснения работы его, читателя, мозга, до эволюционных преимуществ сознания, но не торопится с этими объяснениями. Подобного suspense ожидаешь от детективной истории, но никак уж ни от научно-популярной книги, ни от монографии.

В книге чуть более 450 страниц, но далеко не все они посвящены изложению теории ее автора. В задачу книги входит, как следует думать, предварительное образование читателя до уровня, необходимого для понимания обосновываемых Пенроузом идей. Книга состоит из десяти глав, из которых семь содержат в сжатом и, по видимому пониманию писавшего, популярном изложении определенные физические и математические теории. В главах со второй по девятую кратко и сжато излагаются основы следующих наук и дисциплин:

  • философии математики (где автор указывает, что он последователь Платонова учения, утверждающего, среди прочего, существование независимого от нас, непридуманного мира чисел, идеального, внепространственного, неизменного и непреходящего);
  • арифметики и теории чисел;
  • теории множеств (десятая проблема Гильберта, теорема Гёделя о неполноте, Канторовы мощности множеств; фрактальность, рекурсивная перечислимость множеств);
  • вычислительной математики (включая машины Тьюринга, тезис Тьюринга-Черча и λ-исчисление) и теории сложности;
  • классической механики (включая Гамильтоново изложение динамики и фазовые пространства);
  • классической электродинамики;
  • специальной теории относительности;
  • общей теории относительности (с тензорами, разумеется!);
  • квантовой механики;
  • квантовой электродинамики;
  • гипотез о квантовой гравитации;
  • и наконец, космологии (черные дыры, Большой взрыв, направленность времени и энтропия вселенной).

Список, как видите, нешуточный, и задача изложить эти науки в тех трехстах пятидесяти страницах, наверное, неразрешима. Поэтому не следует ставить Пенроузу в вину то, что он ее не исполнил: иные тратят годы и прочитывают десятки пухлых томов, чтобы понимать все эти учения. Разумеется, разъяснить λ-исчисление, даже популярно, на трех страницах, которые автор смог для того выкроить, невероятно трудно, если и возможно вообще. Именно сжатым объемом и надобностью донести до читателя несоразмерно огромное знание и вызвано такое рваное, косноязычное и совершенно непонятное изложение материала, к которому был вынужден прибегнуть автор. Положа руку на сердце, мало кто произвел бы лучший результат, пытаясь справиться с подобной задачей. Автор здесь признается, что малодушно отказался бы от такой попытки сразу же, без размышления.

Мой наблюдательный читатель уже, должно быть, задается вопросом: как же работа по теории сознания обходится без хотя бы обзора теорий в области искусственного интеллекта (ИИ)? Ведь читателя надо бы «подтянуть» и в этих дисциплинах? Здесь, справедливости ради, надо возразить, что все узнать зараз все равно нельзя. Пенроуз обучает читателя здесь лишь самому необходимому, а что касается остального, тут нам придется положиться на анализ этой области, проделанный Пенроузом, и изложенный кратко и сжато, да и понятный притом без всякой подготовки.

А именно, Пенроуз считает, что ИИ невозможен, и все эти ученые занимаются, в отличие от него, физика, каким-то нелепым делом. Чтобы избавить нас, читателей, от утомительных споров по существу дела, он применяет новый, невиданный доселе в научной литературе (хотя и популярный в некоторых торговых точках) риторический прием: вводит коллективное понятие «ИИ-парни», они же «ИИшники», а затем, виртуозно оперируя утверждениями, подобными «ИИшники никакого понятия не имеют, как запрограммировать [алгоритм] суждения [об истинности факта] на компьютере!»,[412] немедленно заставляет своего читателя задуматься: а всякое ли суждение «естественного» интеллекта озарено светом истины?

Для доказательства «невозможности» ИИ, Пенроуз приводит хорошо известный «аргумент Сирла», известный также под именем «китайской комнаты». «Доказательство» производится путем reductio ad absurdum, или «рассуждением от противного» (см., напр., Википедия, «Доказательство от противного»). Предположим, что ИИ возможен, в том смысле, что существует алгоритм, понимающий китайский язык и выдающий осмысленные ответы. Испытатель, не знающий китайского, запирается в комнате, а испытуемый, не знакомый с испытателем и говорящий по-китайски, пишет на листочке вопрос, а затем просовывает этот листочек в запертую комнату. Испытатель проделывает все шаги алгоритма и пишет в итоге ответ по-китайски. Испытуемый читает ответ и говорит: «Да, это разумный ответ! В комнате сидит человек, оворящий по-китайски!». Но ведь испытатель не говорит по-китайски? Не говорит. Противоречие? Ага! Следовательно, наше начальное положение неверно, и, стало быть, ИИ невозможен.

Правда, автор этих строк не видит, почему бы тем же способом не доказать также и невозможности алгоритмического сложения чисел, или, скажем, решения квадратного уравнения. Ведь если испытатель не обучен сложению, а пользуется алгоритмом, то испытуемый снаружи тоже подумает, что человек в комнате складывать умеет! Противоречие? Противоречие! Значит, алгоритм сложения двух чисел невозможен! Калькуляторы тоже невозможны: читатель легко докажет это, дав необученному арифметике испытателю в руки вместо алгоритма калькулятор. Впрочем, философия на то и древняя наука, чтобы все было туманно, но утвердительно. Автор здесь уверен, что есть философские аргументы, объясняющие принципиальную разницу между этими двумя случаями, и почти уверен, что их ему точно так же не понять… Впрочем, не будем огорчаться. Калькуляторов не бывает, но самая обычная логарифмическая линейка† сделает то, что никакому компьютеру не под силу! Сейчас ее превосходство будет объяснено.

В главе о классической механике Пенроуз говорит о принципиальной невозможности численного моделирования механической системы, за редким исключением сконструированных специально для того, чтобы быть моделируемыми. Этот тезис доказывается очень просто: до бесконечного числа знаков компьютер ведь считать не может†. А из него сразу же следует вывод, блестящий в своей простоте, мимо которого прошли, буквально не заметив его прямо под ногами, целые поколения физиков и математиков! Например, угол отклонения качающегося маятника от вертикали может оказаться числом и невычислимым. А значит, компьютерная модель маятника невозможна! Правда, Пенроуз тут же оговаривается, что специально просчитанный маятник можно смоделировать. Но кому это было бы интересно — заранее придумать то, что моделировать? Да и как считать, если калькуляторов не бывает? Но старая добрая логарифмическая линейка нас спасет! Она-то считает любые числа с бесконечной точностью! Движок на ней можно передвигать на сколь угодно малые расстояния, правда ведь?

Позволительно ли так надувать физику, чтобы натянуть ее на математику? Пенроуз, при всей неординарности своего, можно назвать, мышления, — все-таки физик, и о том, что материя состоит из атомов, наверное, знает. И о том, что длинами меньше планковской, ~10−35 м, не оперируют даже в микромире, тоже знает. Но требует при этом бесконечной точности в вычислениях: или бесконечность, или ничего не вычислится! А вот почему, этого нам с вами, по нашей недоученности, не понять. Да в конце концов, кто книжку писал? — Пенроуз. Кто писал, тот и написал, а чего не написать-то?

Затем Пенроуз переходит к описанию устройства мозга и выяснению, где именно в нем находится сознание. Путем довольно неочевидных рассуждений, Пенроуз, в своей конструктивной манере изложения, одну за одной исключает все части мозга, как возможные вместилища сознания. Все гениальное воистину просто! Сознание — нигде! Даже не в больших полушариях, столь высоко оцененных лишь несколькими страницами ранее, в следующем образчике изящного слова: большие полушария есть «та часть, которой, как знают человеческие существа, им следует гордиться более всего,… поскольку эта часть не только наибольшая от всего мозга человека, но и наибольшая по отношению к [размеру] всего мозга, в сравнении с другими животными».[375] Нельзя не согласиться: именно это чувство, вызывающая желание помериться величиной сего предмета гордости, и нашла отражение в известной поговорке; хорошо известна также и сила влечения к истине, возбуждаемая двумя большими полушариями в особо страстных адептах философии! А вот «бессознательное… все то, что можно вычислить алгоритмически, [находится], предположительно, в мозжечке».[413] Из чего, правда, исходя, делается такое предположение, в книге не говорится. Но, повторюсь, учитывая малый объем книги и грандиозность задачи, опущение принципиальных рассуждений тут вполне оправдано. Да и вообще, что для нас главное: рассуждения или результат? К теории, товарищи, надо подходить практически!

Далее Пенроуз дает первую из давно обещанных разгадок: почему мозг — это квантовый вычислитель. Это рассуждение достойно развернутой цитаты (речь в этом параграфе сначала велась о параллельных компьютерах):

Единство «я»† сознательного восприятия, как мне кажется, идет вразрез с картиной параллельного компьютера. Эта же картина могла бы, с другой стороны, подойти в качестве модели бессознательных действий мозга… С другой стороны [с третьей —freg.], мне кажется, что может быть вполне вообразима связь между единством «я» и квантовым параллелизмом†… Если сознательное «ментальное состояние» может быть уподоблено квантовому состоянию, то некая форма единственности «я» или глобальности мысли может быть более подходящей, чем в случае обычного параллельного компьютера… Но прежде, чем рассматривать такую идею, мы должны рассмотреть вопрос о важности квантовых эффектов вообще в деятельности мозга.[399]

Этими золотыми словами, этим обещанием рассмотреть вопрос важности квантовых эффектов Пенроуз опять создает ситуацию подвешенности в долгом, напряженном ожидании! Вашему собеседнику-недоучке, например, кажется, что единство «я» также идет вразрез и с картиной Ван Гога «Череп с сигаретой в зубах», из чего он все же затрудняется сделать вывод о квантово-механической природе своего «я», Ван Гога или черепа. Неясность эту мы опять же должны отнести на стесненность Пенроуза несоразмерностью громадья задач и ничтожности объема одного тома. Следует отметить, справедливости ради, что отдельные логически завершенные рассуждения мы все-таки находим: «Поскольку [в сетчатке] имеются нейроны, возбудимые, в принципе, одним квантом [света], не будет бессмысленным вопрос, а нет ли подобных нейронов и в мозге? Свидетельств этому, как мне известно, нет… Однако, можно и представить, что где-то глубоко в мозге найдутся нейроны с порогом возбуждения ниже [энергии] одного кванта. Если таковые нейроны вдруг обнаружатся, тогда можно будет сказать, что квантовая механика важна для деятельности мозга».[400] Присутствие столь неоспоримо справедливого вывода еще раз укрепляет пишущего эти строки в убежденности, что в прочих случаях Пенроуз отказывается от логического размышления лишь для экономии изложения, а вовсе не из неумения или, как можно было бы подумать, нежелания.

По ходу изложения Пенроуз оперирует понятиями «сознание» (consciousness), «бдение» (awareness) и «мышление» (cognition), по-видимому, в равном смысле, как антитезу «бессознательному» (unconscious), покрывающему такой диапазон явлений, как сон, инстинкты, рефлексы и автоматические действия. За 40 страниц до конца изложения, когда наступает пора, наконец, определить термины, которыми Пенроуз пользуется в течение всей книги, он отводит этому несколько страниц, где, в очередной раз не обманывая наших ожиданий, так и не приходит ни к какому определению†; затем он неоднократно возвращается к этим попыткам. В числе прочих, при обращении к этой же теме возник следующий, несомненно благородный по своим намерениям пассаж, обличающий тех из братьев старших, которые совершенно не по-братски принижают достижения и подавляют личности братьев меньших: «Остается открытым вопрос о возможности горилл и шимпанзе общаться, пользуясь языком жестов, а не нормальным[sic!] человеческим образом (коему они не приспособлены из-за отсутствия подходящих[sic!] голосовых связок)… Кажется ясным, что, невзирая на жаркие дебаты, [обезьяны эти] способны к обмену знаками, хоть и элементарному. По моему убеждению, это немного хамовато[sic!] со стороны некоторых не называть этот обмен жестами „словесным“. Не для того ли не допускают они приматов в „клуб небессловесных тварей“, чтобы потом изгнать их и из клуба тварей сознательных?»[425]. Да, товарищи, стыдно, стыдно за наших товарищей по биологическому виду, еще допускающих немного хамство, и, не обойду вниманием намека тов. Пенроуза, замышляющих конспирацию с целью изгнания наших ближайших родственников, наших братьев, «способных на истинное вдохновение»,[425] наших, так сказать, соратников в этом нелегком деле словесности, из партии сознательных, честных и совестливых! Где же ваш интерспециализм, товарищи! Позор предателям классовых, отрядных и семейственных интересов!

И вот, наконец, мы, вслед за автором, приближаемся к разгадке, к торжественному моменту, когда ленточка будет разрезана, и покрывало тайн сознания падет, и ничто более не скроет от нас живительных лучей света истинного знания! Полезно здесь перечислить, какие же истины были открыты нам к этому времени:

  • ИИ не бывает.
  • Модели механической системы тоже, в общем случае, не бывает.
  • Ум алгоритмом не охватишь.
  • Можно было бы предположить, что нельзя исключить возможного влияния квантовых эффектов на работу мозга, если вдруг найдутся этому экспериментальные подтверждения.
  • Гориллы суть говорящи и вдохновенны.

Какой же нам следует сделать из этого вывод? Невозможно было нам и на этот раз предвосхитить той ярчайшей вспышки интуиции, момента озарения истинного мыслителя! Вот что говорит сам Пенроуз, открывая нам глаза на эту тайну:

Я представляю себе, что, когда ум воспринимает математическую идею, он входит в контакт с Платоновым миром идеальных концепций… В соответствии с точкой зрения Платона, математические идеи существуют сами по себе, в идеальном, [вечном и неизменном] мире, доступном лишь уму. Когда кто-либо „видит“ математическую идею, его сознание врывается в этот идеальный мир, и входит с ним прямой контакт („доступность только через ум“)[sic!]… Разговор математиков возможен только лишь потому, что им открыта эта прямая дорога к истине, и сознание каждого из них находится в состоянии напрямую воспринимать истины математики, посредством „ви́дения“…
…Разум всегда в состоянии соединиться [с этим миром]. Но только немного выдается каждый раз… Из того факта, что математические истины есть необходимые истины, никакой „информации“, в техническом смысле, делающему открытие не передается. Вся информация была там [где? —freg.] все время. Это — лишь вопрос совокупления  фактов и „ви́дения“ ответа! Все это соответствует идее самого Платона о том, что (скажем, математическое) открытие есть лишь разновидность воспоминания!… Но, чтобы эта точка зрения была полезна, в случае математической коммуникации, следует представлять себе, что интересные и глубокие математические идеи неким образом более существуют[sic!], нежели тривиальные или неинтересные.[428—429]

Оставшиеся несколько страниц книги посвящены, насколько смог их понять ваш скромный помощник, геометрическим мозаикам и специальным вопросам кристаллографии.

«А как же обещания автора?», спросит удивленный читатель, «Как же suspense? А зачем нас учили на протяжении семи глав непроходимым языком всем этим головоломным дисциплинам, которых все равно из такого краткого изложения не понять — при том, что для осознания идеи автора, кажется, даже школьная арифметика не требуется? Зачем меня, добропорядочного читателя, так жестоко надули?» Увы, ответы нам не известны. Рискнем лишь предположить, что Пенроуз сам не предвидел этого неожиданного контакта с идеальным миром истин, закончившегося извлечением в наш мир этой, несомненно, самой существующей из идей, и именно нежданное, не по плану, можно сказать, изложение ее и сделало все предыдущие вопросы несущественными, а ответы на них — более не нужными. Задаваться этими вопросами теперь было бы, думается, так же несмысленно, как, дочитав «Знак четырех», терять и сон, и аппетит, мучаясь загадкой: а ковырял ли когда-нибудь Шерлок Холмс в носу?

Ведь нам все ясно уже и без этого, не правда ли?

Комментарии

Это приложение, в отличие от основного текста статьи, не содержит ни иронии, ни сарказма. Любое утверждение здесь, за исключением, разумеется, цитат, следует принимать за то, чем оно представляется.


Логарифмическая линейка — вычислительный прибор, состоящий из корпуса с неподвижными шкалами, скользящего в нем движка со шкалами, подвижными относительно первых, а также визира с риской для точного считывания значений с отдаленных друг от друга шкал. Градуировка шкал нелинейная, и, хоть не для всех шкал она и логарифмическая, именно такой принцип градуировки дал название прибору. Устройство использовалось до появления калькуляторов для численных расчетов инженерами, навигаторами и т. д. См., напр., Википедия, «Логарифмическая линейка».


Вычислимые и невычислимые числа. Натуральных чисел, как известно, бесконечно много, а целых чисел — так же много, как и натуральных, а вовсе не вдвое больше (здесь полезно вспомнить, что расходящиеся ряды не позволяют применять к ним кажущиеся очевидными алгебраические преобразования). Доказательство этой теоремы разработано великим математиком Георгом Кантором, и удивительно просто: возьмем и перенумеруем все целые числа! Поскольку мы не можем нумеровать каждое число в отдельности, мы выведем вместо того общий принцип нумерации, для произвольного целого числа n. Начнем нумерацию так: 0 будет № 1, −1 — № 2, 1 — № 3, −2 — № 4, 2 — № 5, −3 — № 6, и так далее, так что любое целое число n будет иметь номер 2n + 1, если оно положительное, или −2n в противном случае. Другими способами можно перенумеровать все рациональные числа, т. е. дроби (т. н. «диагональный аргумент Кантора»), а также все алгебраические числа, которые суть решения полиномиальных уравнений. Но даже за вычетом всех этих перенумерованных чисел, остается еще множество чисел, которые нельзя перенумеровать: континуум вещественных чисел. Кантор доказывает, что даже в интервале между 0 и 1 «все» числа перенумеровать нельзя. Также верно и то, что эти числа непредставимы в компьютере, и даже называются они «невычислимыми». Компьютеры ведь считают с ограниченной точностью. Представим, что некий компьютер считает числа до 40 десятичных знаков. Такому компьютеру все равно, что вот это число:
    0,1111122222333334444455555666667777788888 ,
что это:
    0,1111122222333334444455555666667777788887 ,
потому что оба они округлятся до
    0,111112222233333444445555566666777778889 ,
Если надо для решения конкретной задачи, правда, компьютер может и до сотни, и до тысячи знаков сосчитать, и с любой конечной точностью. Но с бесконечной точностью за конечное время, само собой, нет.

Тем не менее, утверждения о бесконечной точности механического движения в системе, даже идеальной, равно как и о бесконечной точности, потребной для построения вычислительной модели такой системы, от физика слышать чрезвычайно, просто запредельно странно.


Единство «я». Пенроуз постоянно ссылается на некое единство сознания как данность. Аргумент этот возникает из здравомысленных наблюдений, но рациональному обсуждению не подвергается: «Характеристикой сознательной мысли является ее единство… Вопросы наподобие „Как, по-вашему, мне думать более одной мысли сразу?“ совершенно обычны».[399] Меж тем, постулат единства «я», как процесса, производящего сознание, отнюдь не очевиден, более того, при внимательном рассмотрении оказывается ошибочным.

«Мы называем словом «я» полновластное существо внутри нас, желающее чувствовать и думать за нас, и принимать важные решения за нас. Мы зовем его «я», самость, эго, и мы представляем его никогда не меняющимся, чтобы ни случилось с нами. Иногда мы даже делаем «я» маленьким человечком, живущим внутри нашего разума».[Minsky 06 с. 299]

«Гомункул… миниатюрный взрослый, который, по положению, обитает в мозгу… воспринимая… сенсорные сигналы и вызывая все команды мускулам. Любая теория, полагающая подобного внутреннего агента, рискует оказаться в бесконечной рекурсии… поскольку мы можем спросить, а нет ли у маленького человечка в голове своего маленького человечка, отвечающего за его действия и восприятия, и так далее». [Dennett 78 apud Minsky 06].


Квантовый параллелизм — вытекающая из особой интерпретации квантовой механики возможность элементарной частице находиться одновременно в нескольких точках пространства.


Определение сознания и интеллекта. Справедливости ради, отметим, что определение даже в гораздо менее расплывчатых случаях затруднительно. Пенроуз, по недопониманию, устанавливает рамки для определений невнимательно, и пытается разграничить процессы в уме там, где они в разграничении не нуждаются. Даже сама терминология, используемая Пенроузом, противоречива и нестабильна. Он говорит, «при моем собственном взгляде на вещи, вопрос интеллекта подчинен вопросу сознания. Я не полагаю, что я мог бы поверить, что истинный интеллект может проявиться, если при этом не появляется и сознание».[407] Автор, при всех приложенных им стараниях, так и не смог разобраться, что же, по взглядам Пенроуза, есть главное, а также в чем состоит отличие истинного интеллекта от просто интеллекта.

Минский [Minsky 86], вводя понятие сознания [гл. 6.1], пишет, «в жизни вам очень часто приходится иметь дело с вещами, которых вы не понимаете. Вы водите машину, не зная, как двигатель устроен внутри. Вы едете пассажиром, не зная, как водитель устроен внутри. Но самое странное, вы управляете своими телом и разумом, не понимая, как вы сами устроены внутри. Не замечательно ли то, что мы можем думать, не понимая, что значит думать?… Наши мысли… управляют множеством процессов, которые мы редко замечаем. Не понимая, как они работают, мы учимся достигать цели, посылая сигналы этим чудесным машинам, словно колдуны древности, читающие ритуальные заклинания».

Здесь же Минский приводит определение из словаря Вебстера: «сознающий. 1. имеющий чувства или знание о своих ощущениях, либо о внешних вещах); знающий или чувствующий, (что ч.‑л. существует, происходит);… 3. Воспринимающий себя мыслящим существом, знающий, что и почему он делает». Как хорошо заметно, ни метафорическое сказание Минского, ни претендующий на четкость определения язык словаря ясности здесь не дают.

В [гл. 7.1], Минский рассуждает о трудности определения интеллекта, пробует, ведя диалог с критиком, различные определения, и останавливается вот на таком: «В наших умах происходят процессы, позволяющие нам решать задачи, которые мы сами полагаем сложными. Те из этих процессов, которые мы пока не понимаем, называются „интеллектом“. Некоторым не понравится это определение, поскольку оно обречено на изменение по мере того, как мы все глубже изучаем психологию. Но, на мой взгляд, именно так и должно быть, поскольку само понятие „интеллекта“ напоминает фокус на сцене. Подобно „неисследованным регионам Африки“, он исчезает по мере того, как мы исследуем его».

Здесь автору остается лишь согласиться с Минским и расстаться с надеждой дать четкое и неопровержимое определение сознанию или интеллекту, а заняться вместо того делом интересным и полезным.

Использованная литература

Dennett, Daniel C. “Why Can't You Build A Machine That Feels Pain.” In Brainstorms, Cambridge: MIT Press, 1978, 190—229. Apud [Minsky 06].

Minsky, Marvin. The Society of Mind. New York: Simon and Schuster, 1986.

Minsky, Marvin. Emotion Machine: Commonsense Thinking, Artificial Intelligence, and the Future of the Human Mind. New York: Simon & Schuster, 2006.

Penrose, Roger. The Emperor's New Mind. Concerning Computers, Minds And the Laws of Physics. New York: Oxford University Press, 1989

Tags:

Comments

__rico
Jan. 7th, 2008 09:17 am (UTC)
число pi является вычислимым но не рациональным.
в компьютере очевидно представимо (за конечное время можно вычислить любой конечный знак числа).
(Anonymous)
Jan. 7th, 2008 10:42 am (UTC)
"за конечное время можно вычислить любой конечный знак числа"

За конечное время можно вычислить приближение к числу pi в виде рационального числа, которое содержит конечное количество знаков (например, десятичных). Само число pi за конечное время вычислить нельзя, потому что останутся неизвестными значения бесконечного количества десятичных знаков числа pi.

Число pi и бесконечное количество других чисел (в том числе и рациональных) не являются вычислимыми для любого реального компьютера. Именно поэтому "В главе о классической механике Пенроуз говорит о принципиальной невозможности численного моделирования механической системы"

__rico
Jan. 7th, 2008 10:55 am (UTC)
да нет же. вычислимость числа - это совсем другое и имел пенроуз в виду совсем другое.
почитайте http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

pi кстати является классическим примером вычислимого неалгебраического числа.
fregimus
Jan. 7th, 2008 01:10 pm (UTC)
__rico совершенно прав насчет моей глупости, вычислимости и почти всего остального, кроме, пожалуй, утверждения о том, что «непредставимость — это нечто». На самом деле, непредставимость — это что надо!

Вообще вычислимость и прочая я стал упоминать там зря. Конечно, глупость там написал, но это я по глупости. Хотел вот наврать, что бес попутал, или там что это у меня от недельного чтения Пенроуза моск закипел, да какая разница — от ума или по глупости глупость-то написал. Пусть будет от глупости.

Из контекта должно быть понятно, что говорил я о более-менее «практическом» представлении чисел, то есть годном для «практического» вычисления, то есть исполнимого на «практически» ограниченном компьютере. Например, содержащим не больше логических элементов, чем атомов во вселенной. Чувствуете сразу разницу, да? На самом деле, в практике мы встречаемся с ограничениями, несколько даже более жесткими. Речь то ведь идет не только (и не столько даже) о теоретической, сколько о практической возможности ИИ. При любом ограничении — любом любом ограничении — точно вычислить число п будет довольно затруднительно, так ведь? Я, как математик, понимаю, что можно за конечное время в любой е-окрестности, но, как существу смертному, мне это совершенно бесполезно на практике. Поэтому нельзя. И никаких «очевидно», пожалуйста! Совершенно негодное слово для описания бесконечностей в вымышленных логических системах, пусть даже эти бесконечности и называются в терминологии этого измысла «счетными». :-)

Рациональных чисел ровно столько же сколько можно представить в любом реальном компьютере с бесконечным, но счетным количеством памяти за бесконечное, но счетное число циклов процессора. Спасибо. Пошел считать. Посчитал, вернулся. :-)

<lj не user Анонимус> (если это один и тот же Анонимус) не прав в объяснении, почему Пенроуз объявляет систему немоделируемой. В том-то и беда, что не потому, почемы Вы думаете (или один из вас, если вас несколько). Тут бы его еще можно было понять. Я-то говорю упрощенно, что он требует бесконечной точности в вычислениях, и тут он не прав. На самом деле, он требует несколько более сильных ограничений, и от этого мне уже делается как-то неловко.

В практическом подходе Вашем что-то есть, это то, с чем я соглашусь, если мы все-таки теорию от практики-то отделим. То, чего практически нельзя делать, мы делать не будем, но и выбрасывать не будем, потому как сгодится чего-нибудь интересное доказать, ладно?

А Пенроуз вот меня потряс своей мат. упертостью (для доказательства второго возражения Тьюринга Тьюрингу все средства хороши). Можно было остаться в рамках КМ и сказать, что динамическую систему точно вычислить нельзя из-за принципа неопределенности (ПН) (я с этой идеей не соглашаюсь, я говорчю, что на нее хота бы можно было возражать). Зачем переть сюда невычислимость? Ну да, он, конечно, уверен, не приводя даже оснований никаких разумных, в том, что ПН и мать его, КМ, — фигня, а на самом деле всем управляют числа, которые сидят в идеальном мире идей и идет от них квантовая гравитация, и только выложением плоскости фигурками мы все и разрешим. И все, конечно, точно и невычислимо. Невычислимые числа оракулят из мира мыслей квантовую гравитацию прямо ему в моск. Серьезно, не шучу я. Ну что тут сказать? Конфликт ума с разумом. Садись, пять.

<lj не user Анонимус>, а Вы (или, может, <lj не user Анонимус>ы, а вы) могли бы подписываться каким-нибудь вымышленным именем, значком или номером? Я просто никак не пойму, сколько там вас на самом деле… :-)
(Anonymous)
Jan. 8th, 2008 04:47 am (UTC)
от практика
Думаю, что это абсолютно неважно, но сообщаю, что все анонимные посты в этом треде, начиная с ответа в виде вопроса, заданного юзеру __rico, написаны одним человеком, мной. В дальнейшем (если это это вдруг почему-то случится) буду писать в поле Subject: "от практика".

Собственно, все что я хотел написать - это банальный факт, что любой реальный компьютер оперирует конечным набором чисел и поэтому не может вычислить не только иррациональные числа, но и почти все (за бесконечно редкими исключениями) рациональные числа. Я искренне не понимаю, как вокруг этого могла возникнуть дискуссия. (Хотя на всякий случай отмечу, что в моей реальности не бывает реальных компьютеров ни с бесконечным количеством памяти ни с бесконечным циклов процессора. Если в чьей-либо реальности дело обстоит по-другому, то я не буду с ним спорить ни о чем, из-за полной бесперспективности процесса.)

По моему мнению, конечность ресурсов любого реального компьютера - это вполне достаточная причина, по которой реальное (на реальном компьютере) численное моделирование механической системы в общем случае невозможно. Моделировать можно только некоторые приближения к ней. Не буду спорить о наличии или отсутствии других причин. Мне достаточно одной -этой.
ex_ex_zhuzh
Jan. 8th, 2008 09:05 am (UTC)
о моделировании механических систем
сколько, по-вашему, нужно десятичных знаков в приближении числа π, чтобы рассчитать длину окружности с диаметром, равным диаметру наблюдаемой вселенной, с точностью до планковской длины?
fregimus
Jan. 9th, 2008 01:18 am (UTC)
Re: о моделировании механических систем
Диаметр наблюдаемой вселенной порядка 100 миллиардов (1011) световых лет. Порядок величины 1 светового года — 1016 м. Планковская длина — порядка 10-35 м. Получается, что диаметр наблюдаемой вселенной есть величина порядка 1016+11+35 = 1062 планковских длин. Получается 62 знака, +1,5 знака в худшем случае на наши умножения трех оценок порядков (точность в 0,5 порядка), то есть 64 знаков достаточно для вычисления длины такой окружнисти, о которой Вы спрашиваете, с точностью до одной планковской длины (если бы кривизна, неевклидовость пространства была точно известна).

Как общее правило, природа не подбрасывает нам величин, превышающих 10100, или одного гугола (как говорят на родине этого термина, «гу́гъл», googol, откуда и есть пошло одно всем известное название).
(Anonymous)
Jan. 9th, 2008 04:22 am (UTC)
от практика
Мне не приходилось иметь дело с механическими системами, для моделирования которых требовалось бы использовать размеры наблюдаемой вселенной.

Но я могу привести простой пример, когда погрешность округления сильно и,я бы даже сказал принципиально, влияет на результаты численного моделирования. Это консервативная колебательная система. Например, две материальные точки, соединенные пружиной без трения и с напряжением, изменяющимся по закону Гука. Известно, что такая система будет совершать гармонические колебания с постоянной амплитудой. Однако из-за ограниченности разрядной сетки при численном моделировании этой системы будут наблюдаться изменения амплитуды со временем. Численная модель консервативной системы не будет консервативной. Для некоторых методов численного моделирования это принципиальное несоответствие будет возникать при любой погрешности округления. Даже если погрешность меньше, чем отношение планковской длины к длине окружности наблюдаемой вселенной.

Конечно, для такой простой системы это не вызывает никакой практической проблемы, потому что известно её аналитическое решение. Проблемы возникают для сложных систем, для которых аналитическое решение неизвестно, и поэтому результаты численного моделирования имеют большое значение. Для таких случаев, погрешности моделирования, вызванные округлением могут существенно исказить полученные результаты. И это может привести к нехорошим практическим последствиям.
(Deleted comment)
(no subject) - (Anonymous) - Jan. 9th, 2008 08:29 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
от практика - (Anonymous) - Jan. 10th, 2008 04:18 am (UTC) - Expand
fregimus
Jan. 10th, 2008 02:03 am (UTC)
Re: от практика
Спасибо, Практик. Есть какие-то выводы, которые должны из математики извлекаться и использоваться. В то же время, теоретические построения, конечно же, важны, мне показалось, что Вы ими как-то пренебрегаете — может, просто показалось. С чем я согласен совершенно — что нельзя некоторые математические выводы применять практически. Доказательство вычислимости цифр числа пы — это одно, практическая возможность — другое. Теория работает и с такими терминами, и применима, просто их надо формализовать (не более чем за Н итераций, например, и т.д.) Думаю, не стоит браться доказывать, что все цифры числа п не вычислимы са конечное, сколь угодно большое число итераци. В то же время, вывод о вычислимости его за счетное бесконечное число итераций может быть полезным для других выводов, приводящих к чему-то практически важному.

Вы говорите о практической [не]осуществимости вычисления в динамической, иррациональной модели, а rico — о чистой теории. Ваши шашки на белых полях, а его на черных. Поэтому придется досрочно объявить ничью: партия не сходящаяся :-)
(Anonymous)
Jan. 10th, 2008 04:35 am (UTC)
Re: от практика
Вам спасибо.

"В то же время, вывод о вычислимости его за счетное бесконечное число итераций может быть полезным для других выводов, приводящих к чему-то практически важному."

Конечно. Например, идеи о бесконечно малых величин привели к созданию дифференциального и интегрального исчисления. (Правда, некоторые злые языки утверждают, что если бы компьютеры появились раньше них, то эти теории и не потребовались бы совсем.)


"а rico — о чистой теории"

В его теории любое число можно назвать как "12345!@#$", ввести его в символьную математику программы Mathematica и заявить, что с ним "можно работать без малейшей погрешности".


"Ваши шашки на белых полях, а его на черных"

Мои шашки стоят правильно.
(Anonymous)
Jan. 8th, 2008 04:13 am (UTC)
Число pi является вычислимым в том смысле, что существует алгоритм с бесконечным числом операций, который позволяет его вычислить.

Но в любом реальным компьютере вычислить число pi - нельзя, потому что в любом реальном компьютере нельзя выполнить бесконечное количество операций.

__rico
Jan. 8th, 2008 04:17 am (UTC)
т.е. по-вашему корень из двух тоже нельзя вычислить???
(Anonymous)
Jan. 8th, 2008 04:50 am (UTC)
от практика
Да, конечно, корень из двух на реальном компьютере вычислить нельзя.
__rico
Jan. 8th, 2008 04:52 am (UTC)
от другого практика
а 1/3 можно? :)
от практика - (Anonymous) - Jan. 8th, 2008 05:08 am (UTC) - Expand
Re: от практика - __rico - Jan. 8th, 2008 05:21 am (UTC) - Expand
Re: от практика - (Anonymous) - Jan. 8th, 2008 05:42 am (UTC) - Expand
Re: от практика - __rico - Jan. 8th, 2008 05:47 am (UTC) - Expand
от практика - (Anonymous) - Jan. 8th, 2008 05:50 am (UTC) - Expand
Re: от практика - pzhur - Jan. 28th, 2008 07:14 am (UTC) - Expand
Re: от практика - (Anonymous) - Mar. 3rd, 2011 10:18 pm (UTC) - Expand

Profile

oak
fregimus
L. Fregimus Vacerro

Latest Month

August 2018
S M T W T F S
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 

Page Summary

Powered by LiveJournal.com
Designed by Tiffany Chow