?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Гедель 7

1  2  3  4  5  6   7 

XIV. Мышление математика

Рассмотрим теперь второй вопрос, в рассуждениях о котором часто упоминают ТГ, и где это упоминание часто кажется, хотя бы на первый взгляд, уместным. Речь идет об отношении математики и сознания работающего человека-математика. Встречается такая точка зрения, что математическому уму некоторые математические факты доступны как истинные непосредственно, минуя доказательство — в виде интуитивных «откровений». В числе аргументов за эту точку зрения часто выдвигают как теоремы Геделя о неполноте, так и невычислимость в смысле Черча-Тьюринга. Среди них часто повторяются аргументы Дж. Лукаса и Р. Пенроуза. Подробный анализ этих рассуждений имеется в книге [3], главы 2 и 6; здесь мы рассмотрим два примера.

Рассуждение Лукаса (Lucas 1961, цит. по [3]) будто бы доказывает, что человеческий ум превосходит любую машину:
Какую бы сложную машину мы ни построили, будучи машиной, она будет соответствовать некоей формальной системе, а та, в свою очередь, ограничена Геделевой процедурой, определяющей утверждение, невыводимое в данной системе. Машина не сможет вывести доказательство этого утверждения, тогда как человеческому уму видно, что оно истинно.
Ошибка в этом рассуждении происходит, скорее всего, из непонимания вывода Геделя. Мы знаем, что Геделево утверждение истинно, покуда верим, что арифметика непротиворечива. Истинность его формально следует из непротиворечивости арифметики, но никакого подтверждения непротиворечивости арифметики у нас нет!

Несколько более сложный аргумент приводит Пенроуз, например, в «Тенях разума»; в сжатой форме можно прочитать его в статье в электронном журнале «Психея»18:
Пусть все без исключения методы несомненно верных математических рассуждений, в принципе доступных человеку, могут быть выражены в формальной системе F. Математик, рассматривая F, может рассуждать следующим образом (полагая, что фраза «я есть F» попросту обозначает «F заключает в себе все доступные человеку методы математического доказательства»):

«Предположим, что я есть F. Тогда F будет верной19, и кроме того, если мы рассмотрим систему F', представляющую собой F, дополненную утверждением „я есть F“, то она тоже будет верной. В таком случае, Геделeво утверждение G(F') будет истинным, и, кроме того, невыводимым в F'. Следовательно, если я есть F, то я воспринимаю истинность G(F'), то есть утверждения, лежащего за пределами доказательной силы F. Следовательно, то, что я есть F, неверно для любой достаточно мощной „геделизируемой“ формальной системы F».
Из этого делается вывод, что совокупность несомненно верных математических рассуждений, доступных человеку, не может быть выражена никакой формальной системой, или, следуя тезису Черча-Тьюринга, никакой компьютерной программой.

Это, весьма «солидное» на первый взгляд, рассуждение содержит на самом деле несколько логических неточностей, которые, будучи внимательно учтенными, приведут нас к несколько иному выводу. Неявное предположение, сделанное Пенроузом, таково, будто «несомненно верные» рассуждения и в самом деле верные, то есть человеческая сиситема математических рассуждений непротиворечива, и, кроме того, «несомненно верно», что эта система непротиворечива. Такое предположение принимать бездоказательно не следует; попытаемся «спасти положение» следующим рассуждением: «Пусть я есть F (в том же смысле, что и в рассуждении Пенроуза), такая, что F включает в себя и знание о том, что F непротиворечива. Следовательно (2-я ТГ), F противоречива».

Опять же, очевидный вывод, напрашивающийся из этого рассуждения, состоит будто бы в том, что человеческая сиситема рассуждений не может быть заключена ни в какой непротиворечивой ФС F. Но не будем торопиться, потому что логически справедливый вывод, который следует сделать из полученного противоречия, такой: (1) человеческая система рассуждений невыразима никакой ФС или (2) она не включает в себя знания о том, что она непротиворечива (или и то, и другое верно). Утверждение (1) совместимо с рассуждением Пенроуза, но (2), однако, ему противоречит. Сам Пенроуз неоднократно отвергает (2) мировоззренчески: неверие в совершенную правильность системы своих собственных несомненных убеждений он считает неразумным.

Но так ли это неразумно — знать, что в системе собственных убеждений обязательно должна присутствовать неполнота? Д. Маккаллох20 приводит весьма любопытное рассуждение, которое выявляет такую неполноту.

Определим F(k) таким образом: «если k есть числовое значение строки21, несомненно задающей функцию G(n), определенную для всех целых n, то значение F(k)=G(k)+1. В противном случае F(k)=0». Предположим, что строка между кавычками несомненно задает функцию, определенную для целых чисел, именно саму F(k). Обозначим код этой строки через N. Тогда F(N)=F(N)+1, а это невозможно. Следовательно, от противного доказано, что строка в кавычках не определяет F(k) несомненным образом, и F(N)=0. Противоречие тем самым снимается, но вывод, однако, кажется неправдоподобным: ведь мы описали функцию F(k) несомненно точно для любых значений k! Разрешение этого кажущегося неправдоподобия как раз и состоит в различении несомненной, интуитивно воспринимаемой истинности и логической истинности, следующей из правил рассуждения. Система правил, вполне интуитивно верных, вдруг начинает вести себя самым неинтуитивным образом. Таковы правила математики — соблюдая их, мы вынуждены принимать технически верный вывод, каким бы он ни казался невероятным. Сам результат Геделя — еще более сильный пример того, насколько может логически верный вывод противоречить интуиции: вспомним, как уверены были математики в том, что программа Гильберта близится к успеху, когда Гедель своим доказательством нанес ей смертельный удар22.

Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным. Например, абсолютное большинство математиков убеждено в том, что предположение Гольдбаха верно. Вы обнаружите спектр убеждений от оптимистического «конечно, верно» до осторожного «видимо, верно, но все-таки не доказано»; редко кто скажет, с различной степенью уверенности, будто она неверна. Однако, если кто-нибудь предложит в качестве «доказательства» утверждение о том, что предположение Гольдбаха верно, потому что оно несомненно истинно, такое доказательство принято математическим сообществом не будет: даже если редактор и рецензенты и сами уверены в том, что гипотеза верна, доказательство они все-таки, наперекор интуиции, потребуют.

Каким же именно путем неполнота проникает в логику, в систему рассуждений? Конструируя верные утверждения на основании справедливых правил их вывода, мы неизбежно придем к неполной системе. Казалось бы, ничего не стоит перейти к большей теории, аксиоматизируя ее собственные Геделевы утверждения, а повторять эту процедуру можно сколько угодно. Однако здесь мы опять упираемся в ту же самую «несомненную» истинность этих утверждений. Иногда их истинность не вызывает вопросов, иногда же, как в примере Маккаллоха, эта самая «несомненность» может сыграть с нами злую шутку. Расширяя теорию, мы каждый раз добавляем к ней утверждения, «несомненно» истинные — а, как мы только что увидели, «несомненная» истинность недостаточно для этого сильна, а порой может быть и вовсе иллюзорной.

Когда мы переходим ко все более и более сильным и сложным теориям, мы неизбежно оказываемся на границах познанного, за пределами хорошо известной математики — того, что описано в учебниках, в статьях и монографиях. Покидая эту твердую почву, мы непременно оказываемся там, где расширение теории всегда будет сначала неуверенным предположением, интуитивным ходом мысли, а не механическим действием. Но не следует понимать это как некое обязательное превосходство человеческого ума над вычислительной процедурой, ведь утверждения на этом пути все более и более предположительны, а человеческие ошибки неизбежны. Можно ли построить алгоритм, делающий предположения? Конечно, можно — мы найдем множество таких алгоритмов в любой самообучающейся системе — но это уже уведет нас далеко в сторону от строгого логического формализма и рассмотрения систем, где основным вопросом является неопровержимая логическая выводимость совершенно верных утверждений. Здесь мне только хотелось бы задержать внимание на том, что алгоритмы, роботы и компьютеры вовсе не обязательно действуют «в лоб», хотя такое заблуждение чрезвычайно распространено — а часто и эксплуатируется, например, тем же Р. Пенроузом и Дж. Серлом; вычислительные процедуры тоже умеют «сомневаться», неуверенно принимают решения, порой неправильные, и могут обучаться на ошибках. Разумеется, сходство с человеческим мышлением здесь чрезвычайно поверхностно: «сомнения» и «неуверенность» робота лишь результат нашего восприятия, невольного анимирования сложного процесса с наблюдаемым сложным поведением; на самом же деле, подо всем этим находятся развитые и интересные математические теории.

В конце концов, нам следует признать неполноту математического знания как свойство, ему присущее, а неявное предположение Пенроуза о непосредственной доступности математической «истины» сознанию отвергнуть: человеческая система математических знаний не может быть одновременно непротиворечивой и содержать утверждения о собственной непротиворечивости. Само собой, нам следует согласиться с ним в той части, где он говорит о невозможности формализовать знание в вычислительном устройстве — математическое знание неформализуемо до конца в принципе. Мысленный мир математики так же глубок и неисчерпаем, как и мир реальный.

XV. Практическая вычислимость

Мы уже видим, что значение невычислимости для практического построения моделей вряд ли заметно. Однако, до сих пор мы говорили только об арифметических моделях реальности. Здесь нам стоит несколько отойти от нашей главной темы, чтобы поразмышлять о различных видах вычислимости и невычислимости, и их влиянии на прикладные математические модели.

Любые вычисления, которые мы можем практически произвести, ограничиваются мощностью наших компьютеров, а они способны производить только целочисленные, арифметические вычисления. Конечно, можно представлять вещественные числа с любой, наперед заданной точностью, как целые; в вычислительных алгоритма мы можем работать с числами произвольной длины (или, что то же самое, точности, если говорить о вещественных числах), но, само собой, не можем вычислять бесконечные натуральные или неограниченно точные вещественные числа. Таким образом, перед нами встает очевидный вопрос: достаточно ли арифметики для (практического) моделирования природных процессов, включая сознание, на вычислительных машинах?

Возьмем обычную динамику Ньютона, которую проходят в школе. Уравнения Ньютона записываются в вещественных числах, например, в уравнении второго закона F=ma и сила F, и масса m могут принимать любые нецелые значения. Можно ли округлять эти вещественные числа до некоторой точности, так, чтобы представлять их целыми числами, и при этом получать приблизительно верное описание механических явлений? Безусловно да, и, более того, начиная с определенной выбранной точности, мы будем вынуждены включать в модель все больший и больший фрагмент реальности. Если мы хотим рассчитать падение камня на поверхность Луны — рассмотрим лунный пример, чтобы забыть о сопротивлении воздуха — с тремя значащими цифрами, нам будет достаточно записать уравнение закона всемирного тяготения для масс Луны и камня. Если мы захотим 10 значащих цифр, нам непременно придется учесть тяготение Земли. Для 20 знаков нам придется учесть Солнце и планеты, при 40 знаках важно уже тяготение звезд… Не говоря уже о том, что при такой точности границы Луны и камня тоже перестают быть очевидно определенными, и расстояние между центрами тяжести камня и Луны перестает быть понятно определимым, да и атмосфера на Луне все-таки имеется.

С какой точностью можно представить всю Вселенную в классических теориях? Наименьшее расстояния, которое вообще имеет смысл физически — планковская длина, 10−35 м. Физика пока не описывает явлений, происходящих в меньших масштабах. Верхняя оценка размера Вселенной составляет 180  миллиардов световых лет, число порядка 1027 м. Получается, что достаточно «всего лишь» 62 десятичных знаков, чтобы выразить размер Вселенной целым числом планковских длин.

Таким образом, целочисленных вычислений достаточно для сегодняшних физических моделей мира. Но насколько хороши эти модели для описания такого устройства, как нервная система? Важны ли те самые процессы, происходящие на длинах меньше планковской, о которых мы еще ничего не знаем? По всей видимости, ответ на этот вопрос отрицательный. Явлений в нейронах, для описания которых необходимо было бы привлекать даже квантовую механику, на сегодняшний день не обнаружено23. Время от времени «квантово-нейронные» гипотезы возникают, однако, никакого экспериментального основания под ними никогда не было. Если даже такие явления и будут открыты, фундаментального переворота в понимании функционирования нервной системы они, скорее всего, не вызовут.

Процессы, происходящие в нервной системе, в основном хаотические. Как хорошо известно, в моделировании таких процессов малые причины вызывают большие последствия. Насколько важна здесь ограниченная точность наших модельных средств? Не вдаваясь в количественные оценки, мы можем ограничиться здесь простым качественным рассуждением: 35 знаков достаточно для выражения размера самого длинного нейрона в планковских длинах. Дальше этой границы лежит неопределенность, где, если модель разойдется с реальностью, то не по причине хаотической расходимости, а по причине более фундаментальной, физической. Таки образом, этот вопрос сводится к предыдущему, и специфического ограничения целочисленное моделирование здесь не вносит.

Суммируя вышесказанное, «арифметичность» вычислительных машин не накладывает существенных ограничений на физические вычислительные модели.

Наихудшее практическое ограничение вычислительных машин происходит от их существования во времени и потребности в энергии — свойствах, неважных для их идеального математического прототипа, машины Тьюринга. Существует большое множество вычислительных задач, где объем вычислений, необходимых для расчета модели, растет экспоненциально с ее размером. Хотя развитие вычислительной техники и позволяет решать многие из подобных задач, которые еще несколько лет назад полагались неразрешимыми на практике именно из-за громадного необходимого объема вычислений, но, например, о моделировании взаимодействия всего лишь нескольких нейронов на уровне составляющих их молекул не может идти и речи — ни сегодня, ни в обозримом будущем.

Но и здесь полагаться на одну лишь «дурную силу» компьютера будет ошибкой. Хотя иногда подобные модели и ценны, но все же они не заменяют собой понимания явлений. Именно этого понимания нам так не хватает в анализе сложных систем с хаотической динамикой, к которым относится и сознание. Здесь стоит вспомнить слова замечательного математика Жака Адамара: «Любое математическое рассуждение, каким бы оно ни было сложным, должно представляться мне в виде единой сущности. Покуда мне не удается схватить его как одну глобальную идею, я не чувствую настоящего понимания» (Hadamard 1954). Хотя прикладные, вычислительные модели нервных процессов достаточно точны, фундаментальная математика сложности только начинает появляться. Так же как Ньютонова динамика потребовала дифференциального анализа, как общая теория относительности Эйнштейна подстегнула развитие тензорного исчисления, так и потребность в понимании сложных природных процессов, к которым относится и сознание, несомненно придает импульс разработке новых фундаментальных математических теорий — этого тончайшего инструмента настоящего понимания.

1  2  3  4  5  6   7 
__________________________________
18. R. Penrose. Beyond the Doubting of a Shadow. Psyche, 2(23), January 1996; 3.2.

19. Sound.

20. D. McCullough. Can Humans Escape Gödel? Psyche 2(4), April 1995

21. Любую строку можно отобразить на натуральное число: например, закодировать ее в виде последовательности байт в произвольной однозначной символьной кодировке.

22. Здесь интересно задуматься о том, насколько человеческий аппарат восприятия подвержен иллюзиям, например, зрительным. Символическое сознание возникло не на голом месте — это эволюционно относительно недавнее приобретение. Механизмы мышления работают в том же самом физическом субстрате мозга, что эволюционировал сотни миллионов лет, развиваясь под давлением совершенно иных, нежели необходимость поразмыслить, факторов. К примеру, язык, основа символического мышления, развился адаптацией коммуникационных систем животного мира (Deacon 1997; Lieberman 2002). Имеют ли «интеллектуальные иллюзии» ту же природу, что и сенсорные? Это один из открытых и чрезвычайно интересный вопрос нейрокогнитивной науки.

23. Единственное неклассическое явление, которое должно учитываться — поглощение фотона в рецепторе сетчатки. См также: S. Klein. Is Quantum Mechanics Relevant To Understanding Consciousness? Psyche 2(4), April 1995.

Tags:

Comments

( 102 comments — Leave a comment )
dimmik
Jan. 18th, 2010 07:21 am (UTC)
А это ваш текст?
Просто "Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным." в некоторой степени расходится с "То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется." из http://fregimus.livejournal.com/83509.html
Или в первой фразе ключевое "для математиков"?
fregimus
Jan. 18th, 2010 07:33 am (UTC)
Мой.

Прекрасный вопрос, между прочим. Наверное, тут разница в том, что случай с монахом описывает реальную ситуацию, а вот с предположением Гольдбаха мы в жизни не встречаемся. Два человека, идущих навстречу друг другу, непременно встретятся — это как бы жизненный опыт. А вот чтобы простые числа лежали и разлагались на простые слагаемые — такого мы в жизни не встречаем.

Если такое объяснение не убеждает, то другого я не приведу, но попробую объяснить, почему нет. В случае с двумя монахами можно привлечь математические свойства пространства, в котором они двигаются, доказать непрерывность и пересечение траекторий, и так далее. Но этого делать не надо именно потому, что все было сделано в обратном порядке. Непрерывность нашего обычного пространства, в котором ходят монахи — не математическое следствие каких-то формул, а опытное наблюдение. Все его математические свойства не доказываются из аксиом; эти свойства являются обобщением наблюдений. Именно поэтому в математическую глубину тут залезать и не надо: простой опыт вполне совместим с этой моделью. Гольдбах — другое, здесь вывод из аксиом, принцип постижения (скажет платонинст) или создания математического мира другой.

Edited at 2010-01-18 07:35 am (UTC)
(no subject) - dimmik - Jan. 18th, 2010 08:05 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 18th, 2010 08:23 am (UTC) - Expand
(no subject) - dimmik - Jan. 18th, 2010 08:34 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 18th, 2010 09:08 am (UTC) - Expand
(no subject) - poslednii_krot - Jan. 18th, 2010 11:11 am (UTC) - Expand
(no subject) - dimmik - Jan. 18th, 2010 11:29 am (UTC) - Expand
(no subject) - poslednii_krot - Jan. 18th, 2010 02:53 pm (UTC) - Expand
(no subject) - dimmik - Jan. 19th, 2010 09:26 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 19th, 2010 07:48 am (UTC) - Expand
ushastyi
Jan. 18th, 2010 10:00 am (UTC)
В связи с примером Маккаллоха, инетересно отметить несовершенство самого логического аппарата, который легко приводит к парадоксам. В этой связи мне вспоминаются две прочитанные в свое время книжки: спор Пуанкаре с кем-то из Гиьбертовцев по поводу формализации математики. Пуанкаре еще тогда чувствовал (начало XXв), что полный формализм недостижим, и математека во многом построена на интуитивных посылках и способах вывода (индукция, например, аксиоматична). Проблемы парадоксов пытался решить Рассел своей теорией типов, но меня не хватило, чтобы дочить его книгу и понять в достаточном объеме.
fregimus
Jan. 18th, 2010 10:36 am (UTC)
Да. Пример можно и более простой привести, но интуитивно он будет отторгаться сильнее. «Ты ответишь „нет“ на этот вопрос?» — то же самое, по сути, но тут уже кажется, что где-то дурят нашего брата.
bdag_med
Jan. 18th, 2010 10:14 am (UTC)
я как гуманитарий вот что скажу :) Ваш текст показывает, что философы правы, говоря о ТГ :) она _имеет_ самое прямое отношение к мышлению и знанию :)
fregimus
Jan. 18th, 2010 10:37 am (UTC)
Какое-то имеет, конечно. Самое прямое? Наверное, я не понимаю Вашу мысль.
(no subject) - bdag_med - Jan. 18th, 2010 10:42 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 18th, 2010 10:43 am (UTC) - Expand
falcao
Jan. 18th, 2010 11:08 am (UTC)
машина и оракул
Я хотел бы остановиться на высказывании Лукаса. Прежде всего, я согласен с тем фактом, что "человеческому уму" действительно "видно", что формальная арифметика непротиворечива. Просто потому, что мы "видим" ту модель, на которой все аксиомы Пеано очевидным образом истинны.

Мне видится некое явное лукавство в позиции "формалистов", которые хотят вообще "упразднить" интуицию. Это бросается в глаза вот из каких соображений: "формалист" был бы готов принять тезис о непротиворечивости арифметики при наличии некого "финитного" доказательства, которое фактически означает доказательства в РА. Но почему такое доказательство его в чём-то должно убедить? Не потому ли, что в сами аксиомы РА он уже "поверил" -- коль скоро на них он считает возможным опереться? Но такая вера мало чем отличается от веры в непротиворечивость. Откуда у нас вообще возникает "доверие" к системе РА? Не по той ли причине, что эта система что-то верно описывает?

Более того, само рассмотрение суждений типа "формальная арифметика непротиворечива" как осмысленных истин, уже предполагает "веру" в натуральный ряд.

"Формалистическая" позиция могла бы оказаться состоятельной вот в каком случае. Если бы программа Гильберта удалась в своём "первоначальном" виде, то тогда стало бы возможным "прикинуться" и сказать, что мы вообще ничего "не финитного" мыслить не желаем. Что эти утверждения об истинности чего-то вообще никакого смысла не имеют, а реальны лишь факты о "конечном" -- в частности, о выводимости из заданной исстемы аксиом. И что сама эта выводимость есть просто выводимость, за которой не надо видеть ничего другого. То есть просто имеет место некая игра по правилам, и только в таком аспекете всё следует понимать, дабы избежать "теологии" и "мистики".

Даже если представить себе кого-то, кто хотя бы отчасти верит в "теологию", он мог бы занять такую позицию, что другой человек в это всё может уже не верить, теорию множеств и прочее -- не принимать, и тогда те или иные "истины" ему можно было бы "скормить" в другой форме. То есть не "арифметика непротиворечива" (что не имеет смысла для "суженного" сознания), а "выводимо такое-то и такое-то утверждение из таких-то формул по таким-то правилам". Но такую редукцию осуществить не удалось, и тогда приходится либо не заниматься математикой вообще, либо всё-таки признать хотя бы минимум "теологии".

Что же касается общего тезиса, будто человек якобы обладает какими-то "немашинными" возможностями (во что, как я понимаю, Вы совершенно не верите, и я тоже нисколько не верю), то я считаю наиболее сильным возражением против него одно замечание, которое не раз уже излагал. Если машина может как-то извлекать информацию из внешнего мира -- пусть даже это самая простая машина Тьюринга, то её возможности потенциально безграничны совершенно независимо от теоремы Гёделя.

Чтобы понять это, достаточно представить себе такое "волшебное" число, которое "даёт ответы на все вопросы". Устроено оно так: все осмысленные вопросы (например, о натуральных числах) нумеруются, и мы пишем 0 или 1 на n-м месте в зависимости от того, является ли ответ на n-й вопрос ложным или истинным соответственно. Это приводит к некому фиксированному действительному числу. "Обладание" таким числом дало бы хоть человеку, хоть машине возможность ответить на любой вопрос. По сути дела, это есть некий "оракул", то есть известное понятие из теории алгоритмов.

Так вот, откуда следует, что в Природе не существует такого "оракула"? Как можно доказать, что среди всего многообразия природных явлений не существует именно такого? А если оно в принципе может существовать, то машина может обращаться к этому "оракулу" и тем самым давать ответы на какие угодно вопросы. То есть сама по себе возможность получать из внешнего мира информацию, делает машину с простым внутренним устройством уже в каком-то смысле столь же "мощной" как и вся окружающая Реальность. И все человеческие "инсайты" есть не что иное как результат экспериментов с внешним миром. Что машина может делать с не меньшим успехом.
poslednii_krot
Jan. 18th, 2010 11:18 am (UTC)
Re: машина и оракул
Просто потому, что мы "видим" ту модель, на которой все аксиомы Пеано очевидным образом истинны.

Представьте себе, что во вся вселенная состоит из конечного числа элементов (а у современной науки нет оснований утверждать обратное). Тогда то, что мы "видим" - это лишь выполнение аксиом арифметики до некоторого (достаточно большого) числа. Такая система аксиом не удовлетворяет условиям теоремы Геделя. А арифметика Пеано - лишь абстракция, придуманная людьми для упрощения (чтобы не пришлось выписывать законы сложения каждого отдельного числа с каждым), и "истинна" она целиком или нет - вопрос веры.
абстрактное и идеальное - falcao - Jan. 18th, 2010 11:44 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
глазами инопланетянина - falcao - Jan. 18th, 2010 07:21 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
математика и выжЫвание - falcao - Jan. 18th, 2010 10:08 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(Deleted comment)
Re: глазами папуаса - fregimus - Jan. 18th, 2010 11:55 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(Deleted comment)
(Deleted comment)
(no subject) - fregimus - Jan. 18th, 2010 11:33 am (UTC) - Expand
непоследовательность - falcao - Jan. 18th, 2010 11:52 am (UTC) - Expand
Re: непоследовательность - fregimus - Jan. 18th, 2010 12:18 pm (UTC) - Expand
замысел Творца - falcao - Jan. 18th, 2010 12:51 pm (UTC) - Expand
Re: замысел Творца - bvn_mai - Jan. 18th, 2010 07:21 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 19th, 2010 05:03 am (UTC) - Expand
декор - falcao - Jan. 23rd, 2010 05:49 pm (UTC) - Expand
Re: декор - fregimus - Jan. 24th, 2010 05:08 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
в целях экономии времени - falcao - Jan. 18th, 2010 12:07 pm (UTC) - Expand
очертить круг - falcao - Jan. 18th, 2010 12:58 pm (UTC) - Expand
Re: очертить круг - fregimus - Jan. 19th, 2010 07:34 am (UTC) - Expand
Re: машина и оракул - anhinga_anhinga - Jan. 18th, 2010 01:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 19th, 2010 06:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - anhinga_anhinga - Jan. 19th, 2010 07:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 19th, 2010 08:51 pm (UTC) - Expand
(no subject) - anhinga_anhinga - Jan. 19th, 2010 09:03 pm (UTC) - Expand
(no subject) - bvn_mai - Jan. 20th, 2010 07:14 am (UTC) - Expand
(no subject) - anhinga_anhinga - Jan. 20th, 2010 05:39 pm (UTC) - Expand
Re: машина и оракул - zlyuk - May. 30th, 2010 02:15 pm (UTC) - Expand
пограничная область - falcao - May. 30th, 2010 02:40 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
fregimus
Jan. 19th, 2010 07:35 am (UTC)
Это бывает. С умностями вот всегда так: есть, есть, раз — и нет!
(no subject) - dimmik - Jan. 19th, 2010 11:47 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
auraz
Jan. 19th, 2010 09:20 pm (UTC)
Прошу посоветовать что-то для начального ознакомления с хаотической динамикой (с фундаментальной стороны).
fregimus
Jan. 19th, 2010 11:05 pm (UTC)
Этот учебник считается хорошим и доступным: T. Tél, M. Gruiz. Chaotic Dynamics. Cambridge : Cambridge Univ. Press., 2006.
(no subject) - auraz - Jan. 20th, 2010 10:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 20th, 2010 10:06 am (UTC) - Expand
darth_vasya
Jan. 19th, 2010 09:36 pm (UTC)
Извините, но я, как всегда, позанудствую:

> но, например, о моделировании взаимодействия всего лишь нескольких нейронов на уровне составляющих их молекул не может идти и речи — ни сегодня, ни в обозримом будущем.

В не столь отдалённом прошлом не могло идти и речи о, скажем, моделировани работы какой-нибудь там рибосомы на уровне составляющих её атомов. До моделирования целых клеток, конечно, ещё очень далеко, но, с другой стороны, и движемся мы к нему очень быстро.

> «Любое математическое рассуждение, каким бы оно ни было сложным, должно представляться мне в виде единой сущности.» ... Хотя прикладные, вычислительные модели нервных процессов достаточно точны, фундаментальная математика сложности только начинает появляться.

Меня всегда настораживают разговоры о грядущей фундаментальной математике сложности. Сложные системы ведь потому и сложные, что понимание их в несколько предложений не влезает. Эта особенность, очевидно, связана с тем, что виртуальная математическая машина, со скрипом эмулируемая в голове математика, может одновременно оперировать только с небольшим числом фактов, а в сложных системах фактов по самому определению много. Если же просто взять и заменить сложную систему понимаемой человеком (иными словами, простой) моделью - ну что ж, поздравляю, мы получили простую систему вместо сложной.

Именно потому физика и состоит из такого количества уровней, на каждом из которых путём каких-то "простых" (в смысле - умещающихся в одной голове) выкладок определяются базовые понятия для следующего уровня, на которым уже из них будут составляться новые "простые" выкладки. Электроника работает с понятиями, выведенными из физики твёрдого тела, однако инженеру при проектировании нового чипа не приходится задумываться об электронах и ядрах - если бы он стал о них задумываться, то ему даже один транзистор не удалось бы спроектировать. С другой стороны, когда он проектирует новый процессор с миллиардом транзисторов на чипе, ну хоть тресни, без CAD'ов ему не обойтись. Соответственно, для настоящего понимания системы, "сложной" с точки зрения человека, по самому определению нужен кто-то способный удержать в голове больше фактов, чем человек, на то она и сложность (например, CAD). Человек же может понять современный процессор только на уровне регистров, да и то, на таком уровне понимания количество вещей, которые его можно заставить делать, довольно ограниченно.

В общем, пока что мне кажется наиболее вероятным, что человек свой разум в вышеуказанном адамаровском смысле понять никогда не сможет - при текущих возможностях человеческого интеллекта. Для этого неизбежно понадобится более сильный интеллект, например, усиленный специальными "понималками", анализирующими большие массивы данных и проделывающими за него весь путь от сложной системы до нескольких простых понятий, которые влезут в голову. Если можно так выразиться, вот эта вот грядущая математика сложности будет не символьная, а глубоко численная, с большими массивами данных и без малейшей надежды самому, своей головой, реально понять, что там внутри у неё творится.

(Извините, что по-дурацки, голова уже не варит.)
fregimus
Jan. 20th, 2010 06:20 am (UTC)
Святое дело. Давайте позанудствуем, конечно.

Мне не совсем понятно сравнение с CAD и устройством процессора. Наверное, мы о разном понимании говорим. Даайте я вот так попробую уточнить, что я имею в виду. Когда появилась ОТО, ходили слухи, что понимают ее от силы 10 человек на свете. Не знаю, насколько это правда, но это plausible, такова судьба каждого нового понимания. Когда Вы говорите о машине со скрипом — это другая вещь. Ведь в понимании сознания мы еще делаем только первые шажки. CAD — в этом сравнении параграфы в учебнике для третьего курса — появятся значительно позднее, когда это самое понимание распространяется в социуме.

Сложные системы. Два смысла этого ярлыка. Первый — предикативный смысл, в котором Вы употребляте эти слова; Х сложен елси Х непонятен. Когда мы понимаем Х, он больше не сложный. Я же говорю о том, что мы сейчас называем сложными системами. Когда они перестанут быть сложными (в Вашем смысле) их можно будет назвать «то, что в 2010 году называлось „сложными системами“» — это атрибутивный, а не предикативный смысл. Проще говоря, я думаю о конкретном классе систем.

Почему новая математика. Опять же, здесь под математикой я понимаю способ думания, а не набор формул и графиков. Вот в таком бы плане над этим позанудствовать.

Во что я не верю совершенно — в механические способы превратить большой объем фактов в малый, постижимый объем фактов. Может быть, мы о разных вещах говорим, но такого я еще не видел. Если я не понимаю, то уточните, пожалуйста. Когда обрабатываются данные эксперимента — конечно, такое делается. Но то пространство, в которые данные уминаются, в большой спепени предписывается теорией, или гипотезой, или даже наметками мысли, в которую эти данные должны уложиться. То есть этот инструмент — не «препроцессор данных», а именно инструмент их обработки. В каузальном смысле — мысль сначала, обработка потом, затем опять мысль, затем уже сушеная теория, не па? Я Вас не понял, наверное?

Edited at 2010-01-20 06:33 am (UTC)
(no subject) - darth_vasya - Jan. 20th, 2010 08:57 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 22nd, 2010 11:07 am (UTC) - Expand
(no subject) - bvn_mai - Jan. 22nd, 2010 12:38 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 23rd, 2010 05:56 am (UTC) - Expand
(no subject) - darth_vasya - Jan. 24th, 2010 05:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Jan. 23rd, 2010 05:59 am (UTC) - Expand
auraz
Jan. 20th, 2010 10:38 am (UTC)
Спасибо за быстрый ответ. Удача подвернулась и я ее нашел. В издании 2006.
fregimus
Jan. 22nd, 2010 11:09 am (UTC)
Да, я ошибся, 2006, конечно.
(no subject) - alex_muximov - Jan. 22nd, 2010 05:15 pm (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Jan. 23rd, 2010 09:30 pm (UTC) - Expand
(no subject) - auraz - Jan. 24th, 2010 05:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alex_muximov - Jan. 25th, 2010 08:38 am (UTC) - Expand
(no subject) - alex_muximov - Jan. 25th, 2010 08:39 am (UTC) - Expand
nature_wonder
Feb. 5th, 2010 11:29 pm (UTC)
"Покуда мне не удается схватить его как одну глобальную идею, я не чувствую настоящего понимания»
Этой мысли и посвящена книга П.
fregimus
Feb. 6th, 2010 06:53 am (UTC)
Посвящена или нет, но он так говорит, да.
(no subject) - nature_wonder - Feb. 6th, 2010 11:58 am (UTC) - Expand
eslitak
May. 11th, 2010 06:02 pm (UTC)
> Можно ли построить алгоритм, делающий предположения? Конечно, можно — мы найдем множество таких алгоритмов в любой самообучающейся системе

Сомнительно. Все "предположения" алгоритмов - это выводимые утверждения. Пенроуз же настаивает на том (и я с ним согласен), что человеческое сознание, в отличие от алгоритма, способно генерировать невыводимые, но верные утверждения - идеи.
Конечно, принципиально и машина может такие утверждения выдавать, хотя бы тупо используя генератор случайных последовательностей. Но тут есть две проблемы. Во-первых, в любом мало-мальски сложном алфавите множество последовательностей чрезвычайно велико, а значит, вероятность за разумное время сгенерировать методом тыка что-нибудь полезное крайне мала. Во-вторых, если алгоритму даже и удастся случайно выдать идею, то как, скажите, он сможет определить, что эта идея верна? Ведь в его формальной системе никаких методов верификации новой идеи принципиально не существует. А вот человеческому сознанию верность идеи бывает "очевидна".
fregimus
May. 11th, 2010 06:39 pm (UTC)
Знаете, я не хочу больше спорить с идеями Пенроуза. Они от сохи все, но очень как бы близки и очевидны. Возникает в сознании идея непонятно как? Возникает. Ну, квантовая гравитация, значит, навевает — а что ж еще? Эти рассуждения даже не на глиняных ногах, они висят в воздухе. Но многие верят, да, потому что очень хочется. Кстати, почему хочется в такое верить — отдельная тема исследований.

Где у Вас конкретно ошибка — недосказано. Невыводимые в Х, но (доказуемо в У) верные в Х. Нельзя говорить «недоказуемые, но верные», не отсылая к конкретной ФС.

Методом тыка — а другим методом? Импликация того, что метод тыка единственно возможный, неверна — ср. эволюцию или, из математики, методы оптимизации.
(no subject) - eslitak - May. 11th, 2010 07:10 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 12th, 2010 10:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - eslitak - May. 12th, 2010 06:32 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 16th, 2010 12:07 am (UTC) - Expand
(no subject) - eslitak - May. 17th, 2010 06:30 pm (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - May. 29th, 2010 06:38 am (UTC) - Expand
sad_jaster
Apr. 21st, 2013 01:34 pm (UTC)
благодарю за разъяснение теоремы. Стараюсь доказать эквивалентность исходной и целевой программы в процессе трансляции, корни ушли аж к Гёделю...
fregimus
Apr. 22nd, 2013 12:37 am (UTC)
Это хорошо известный результат, если подумать не о Геделе, а об эквивалентом (по-видимому) результате Тьюринга: вопрос об эквивалентности двух программ неразрешим (кажется, в шутку это называется full employment theorem, в том смысле, что работа для оптимизаторов компиляторов никогда не переведется). Рассуждение такое. Пусть программа P1(x) = ignore Q(x); "yes". Если Q(x) останавливается, тогда полностью оптимальная версия P2(x) = "yes". Доказательство эквивалентности P1(x) и P2(x) сводится к доказательству того, что Q(x) останавливается.
(no subject) - sad_jaster - Apr. 22nd, 2013 07:05 am (UTC) - Expand
(no subject) - fregimus - Apr. 22nd, 2013 07:13 am (UTC) - Expand
urjuk
Oct. 3rd, 2015 09:39 pm (UTC)
После прочтения замечательной книжки "Математика. Утрата определенности", кое-что гуглил и наткнулся на Ваши записи. Последние две части размышлений перекликаются с точкой зрения её автора- Морисом Клайном.
Большое спасибо за этот цикл публикаций.
fregimus
Oct. 8th, 2015 02:56 am (UTC)
Очень рад, что понравилось, спасибо.
( 102 comments — Leave a comment )