L. Fregimus Vacerro (fregimus) wrote,
L. Fregimus Vacerro
fregimus

Categories:

В защиту бирюлек

Говорят, будто компьютерные модели — в особенности таких сложных явлений, как жизнь или сознание — не более, чем игра в бирюльки, занятие отнюдь не серьезное. Это не так. Обычно аргументация не выходит за пределы «мне кажется, что это бесполезно — а мне не кажется». Хотелось бы видеть более серьезные аргументы. Поскольку предвидеть будущие успехи или неуспехи вычислительного моделирования мы не можем, интересно рассмотреть прошлые — а они достаточно серьезны.

Примеров тому множество, но мне бы хотелось рассказать о двух результатах, весьма фундаментальных, которые можно отнести к разным категориям открытий: первое случайное, а второе — результат долгого целенаправленного поиска.

*  *  *

Эдвардом Лоренцем, метеорологом из МИТ, была случайно обнаружена хаотичность в простой системе дифференциальных уравнений. Хоть явление хаоса и было известно с начала века, методологический подход к моделированию природных явлений все-таки оставался линейным. До тех пор основную массу физических явлений удавалось описывать — пусть даже в определенном приближении — линейными, разрешимыми аналитически дифференциальными уравнениями первой степени. Открытие Лоренца изменило подход к аналитическим моделям природы вообще. «Новым» в этом открытии было именно это методологическое изменение. История его принятия весьма поучительна.

Всем, конечно, известно, что Лоренц случайно обнаружил, что численное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих весьма упрощенную физическую модель атмосферной конвекции, чрезвычайно чувствительно к начальным условиям. В 1961 году он опубликовал статью в «Журнале атмосферных исследований», где сделал вывод, что долгосрочное предсказание погоды невозможно на основании физических моделей атмосферы. Никакого резонанса за пределами узких метеорологических кругов эта статья не вызвала. Многим еще казалось, что хаос — причудливое свойство, которое можно не учитывать, что возможна другая модель, возможно, непринципиально упрощенная, которая могла бы предсказать поведение атмосферы аналитическим образом. Что известно гораздо менее, это то, что потребовалось больше 10 лет, проведенных в спорах сторонников и противников хаоса (слово chaologist, «хаолог», возникло как раз в ту пору), чтобы перейти от точки зрения, будто природа в основном линейна, к современной, той, что природа чаще всего хаотична и что хаос фундаментален. Сейчас, оглядываясь назад, можно подумать, будто хаотические явления попадали под какое-то «слепое пятно» науки; возможно, это в какой-то мере и правда. И эта Куновская «смена парадигм» в конце 1970-х произошла именно благодаря компьютерной модели.


На фотографии — хаотическое колесо Малькуса (Malkus waterwheel). В начале 1970-х математики из МИТ В. Малькус и Л. Говард придумали простую механическую модель, которая описывается той же самой системой уравнений Лоренца, причем, в отличие от атмосферы, не приблизительно — физика там школьная. Струя воды наполняет дырявые стаканчики, и сторона колеса, где стаканы наполнены, перевешивает и раскручивает колесо. Два параметра Лоренца соответствуют скорости истечения воды из трубы и трению в оси колеса: обратите внимание на малярную кисточку, задающую второй параметр. Скорость вращения колеса действительно меняется хаотическим образом. Никакой надежды получить «простую аналитическую» модель колеса нет, ведь, в отличие от атмосферы, модель описывает колесо в терминах классической механики преточнейшим образом. Фотография из Santa Fe Institute Complex Systems Summer School, 2003, A. Clauset et al.

*  *  *

Физики П. Бак, Ч. Танг и К. Визенфельд занимались в 80-х годах исследованием критических систем. Многие системы проявляют фрактальные свойства и сложное поведение вблизи критических точек. Подобные явления можно наблюдать и в фазовых переходах вещества, и в целых экосистемах и экономике. Когда система оказывается в критическом состоянии, она становится словно бы холистической: любое малое воздействие в одной части системы может привести к резким изменениям во всей системе. Корреляционная метрика системы становится в критической точке бесконечной: величина последствий более никак не коррелируют с причиной! Лоренц говорил, что взмах крыла бабочки в Южной Америке может вызвать ураган в Техасе. Но загадкой оставалось как именно системы приходят к критическому состоянию: ведь, на первый взгляд оно неустойчиво. Например, критические явления в фазовом переходе наблюдается только при определенной температуре, то есть системе требуется точная «настройка», чтобы стать критической. Как природные системы приходят к такому, будто бы неустойчивому состоянию?

Модель Бака-Танга-Визенфельда (Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile) описывает идеализированную… кучу песка. Куча песка как целое — очень устойчивое образование. Если к куче песка добавлять песок, то она все равно будет именно тем, чем и была — кучей песка. Однако, куча полна локальных неустойчивостей: добавление одной песчинки может привести к сходу огромной лавины. Куча песка (а в экспериментах еще часто использовали рис) — прототипическая критическая система, проявляющая свойства, характерные и для климата, и для экосистемы: в любых экспериментальных сериях оказывается розовый шум, а сама система масштабно-инвариантна в соответствии со степенным законом.

Математически, куча БТВ является очень простым клеточным автоматом. Каждая клетка содержит определенное число песчинок. Когда «высота столбика» превышает определенный предел, ровно по одной песчинке падают на соседние кетки. Если песок добавлять в одной точке, эволюция автомата приходит к вот такому состоянию:


F. Redig, Livermore National Lab.

Здесь следует возраить, что между этим клеточным автоматом и экосистемой расстояние огромно. С этим трудно не согласиться. Несомненно, что автомат хорошо моделирует поведение песчаной или рисовой кучи. Но насколько хорошо куча моделирует экосистему? Если мы рассмотрим аспект самозарождения сложности — на удивление хорошо. В результате песчаных опытов удалось выделить и ухватить именно то самое удвительное и загадочное свойство сложного поведения, его аттракцию к критической точке. Это свойство полагается одним из фундаментальных в изучении динамики сложных систем. А автомат БТВ, в то же время, относительно «прост», чтобы его можно было изучать методами математики, хотя простота эта относительна, если посмотреть на динамику статей по нему — почти через 25 лет после открытия.

*  *  *

Вычислительная математика — прекрасный инструмент, но, как и любой другой (почесывает отверткой затылок) может использоваться по-разному. Если кажется, что большинство работ в этой теме плохие, слабые, не интересные — это же относится и к другим темам. На фоне потока безобразных экспериментальных «исследований» мозга на функциональном магниторезонансном томографе (ФМРТ), укладывающихся в схему «мы тут вот так попробовали — так вот сюда в мозге кровь сразу прилила. Всё», есть и уникальные и интереснейшие эксперименты. То же самое относится и к игре в компьютерные бирюльки. Никакого особого, отличного бескультурья исследований в области моделирования нет, есть самое обычное, что ничего, в общем-то, об исследовательском аппарате не говорит.

Дополнительные ссылки:

Короткое видео еще одной модели колеса Малькуса.

Действующий автомат БТВ на сайте Сергея Маслова (Java).
Tags: chaos, scipop
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 63 comments