?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Каннабиноида

Вопрос тем, кто не читает веб-журнал И. Весеннего «Привычка не думать» (трансляция в ЖЖ rss_my_tribune): за что ж вы себя так не любите?

А мы сегодня построим полярную кривую каннабиноиду. Недавно она промелькнула где-то в ссылках, но без объяснений (спасибо за наводку olgapavlova). А мы разберем, как эта кривая устроена, да еще и свою, покрасивее сделаем!

Начнем с разновидности синусоидальной спирали 9-го порядка. Нужно заметить, что особого математического интереса такая кривая, в отличие от ее разновидностей низших порядков, не представляет.

PolarPlot[(1 + Sin[9 x]), {x, 0, 2 Pi}]



Теперь «впишем» эту кривую в кардиоиду. Кардиоида — тоже синусоидальная спираль, но первого порядка: r = 1 + sin θ. Эта спираль гораздо чаще возникает и в природе, и в математических построениях. В частности, центральная часть множества Мандельброта очерчивается кардиоидой. Кардиоида также является одной из каустик окружности, и поэтому может непосредственно наблюдаться в отражении света на поверхности жидкости в круглой миске.

PolarPlot[(1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]



Когда мы перемножим значения радиусов кривых, вершины лепестков первой розетты лягут на кардиоиду. Вот что получится:

PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]), {x, 0, 2 Pi}]



Чтобы придать листьям остроконечность, помножим эту кривую на еще одну синусоидальную спираль. У этой спирали будет по 5 периодов на каждый из 9 лепестков розетты. Также домножим член с синусом на константу c < 1: r = 1 + c sin n θ. Понятно, что при c = 1, наименьшее значение радиуса r будет 0, именно при значении синуса, равном 1. При c < 1, однако, наименьший радиус будет положительным, и потому спираль не коснется начала координат:

PolarPlot[(1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]



Домножив нашу функцию на эту кривую, заставим листья немного расширяться от основания, а затем сужаться к концу:

PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]), {x, 0, 2 Pi}]



Теперь добавим тем же способом зубчики на краях «листьев». Можно поэкспериментировать с разными порядками кривых и константы c; самый красивый результат у меня получился вот какой:

PolarPlot[(1 + Sin[9 x]) (1 + Sin[x]) (1 + 0.03 Sin[9*5 x]) (1 + 0.04 Sin[9*33 x]), {x, 0, 2 Pi}]



Конечно, это всего лишь математическая шутка, но она заставляет задуматься и над серьезным вопросом: имеет ли отношение эта кривая к настоящей форме листа конопли? Если и так, то отношение это очень и очень отдаленное. Формирование листа — очень сложный процесс, где превалируют локальные клеточных явления; иными словами, делящаяся клетка, само собой, не действует в зависимости от своих глобальных координат θ и r, а «знает» состояние только соседних клеток. Так что если мы и найдем подобную функцию в природе, то ее появление будет не причиной, а результатом иного процесса. Какого же? Вспомним, что центральная часть хаотического множества Мандельброта имеет форму приблизительно кардиоиды. На определенных масштабах хаотических процессов появляется порядок, и иногда этот порядок бывает достаточно прост, чтобы приближенно описываться аналитическими функциями. В таком рассмотрении, кардиоидальная форма листа конопли не случайна, и может быть ключом к описанию характера локальных процессов деления клеток в растущем листе. Но это рассуждение стоит целой заметки, и мы обязательно рассмотрим одну очень интересную вычислительную биологическую модель в следующий раз.

Tags:

Comments

( 16 comments — Leave a comment )
palmas1
May. 9th, 2010 05:36 am (UTC)
Спасибо, забавно.
Насчёт того, что множество Мандельброта может иметь отношение к форме листа, у меня большие сомнения. Но почитать было бы интересно.
fregimus
May. 9th, 2010 06:03 am (UTC)
Нет, конечно, это только аналогия. В хаотическом множестве М. возникает простая форма — кардиоида. И в хаотическом формировании листа она тоже возникает. Жаль, что эта часть такая невнятная вышла.
anatol_olegych
May. 9th, 2010 02:29 pm (UTC)
a pochemu formirovanie lista -- haoticheskij process?
anatol_olegych
May. 9th, 2010 04:49 pm (UTC)
Я к тому, что (насколько я понимаю) если это удастся продемонстрировать, то это будет очень нетривиальный результат. Но м.б. это уже становлено?
fregimus
May. 9th, 2010 08:23 pm (UTC)
Нетривиальный — почему? В росте листа задействованы тысячи процессов, от молекулярных до вполне макроскопических. Все это охватывается петлями разных обратных связей. Нетривиальным, думаю, будет показать, что хаотические процессы в такой системе не происходят. Или я просто совсем не понимаю вопроса?
anatol_olegych
May. 10th, 2010 04:57 pm (UTC)
Мне не совсем ясно (вполне вероятно, что я просто не знаю xорошо известныx вещей), насколько нетривиальную роль играют xаотические процессы в морфогенезе.

Поясню, что я имею в виду под нетривиальностью. Скажем, описание квантовыx процессов необxодимо ("нетривиальным образом") для понимания фотосинтеза. А вот для описания потенциала действия -- вроде бы нет, xотя и протоны туда-сюда, и кварки всякие имеют место. Время от времени люди выступают с предложениями, что нервная система -- квантовая машина, но пока (насколько мне известно) это не общепринятая идея.

Я понимаю, что поля морфогенов генеалогически связаны с описанием xаотическиx систем, но имеют ли эти подxоды более глубокую связь с морфогенезом, чем таблица логарифмов с формой улиточьей раковины? Вне всякого сомнения, какие-то xаотические процессы должны происxодить, но насколько они необxодимы для понимания?
fregimus
May. 11th, 2010 05:32 pm (UTC)
Просто отличный вопрос, мне хочется на него ответить — во всяком случае, попытаться. Вчера не получилось со временем, постараюсь сегодня.
fregimus
May. 16th, 2010 06:51 am (UTC)
Простите, что так долго. Попытаюсь ответить, как могу.

Прежде всего, не понял Вашей аналогии насчет формы раковины моллюска и таблицы логарифмов. Какая на самом деле связь? Прежде всего, для выделения такого объекта, как раковина, знание логарифмов не требуется. Это очевидность, но ее следует иметь в виду. Когда мы попытаемся понять, как получается такая форма, логарифмы появятся в таком описании вполне натуральным образом, например, через последовательность Фибоначчи: линейно растущая зверюга (о, это сладкое слово «линейно»!) достраивает каморки под свой сегодняшний размер. Глубока ли связь логарифмов и формы раковины? Я бы ответил, что да. Ваш комментарий, если я его понял правильно, звучит, как будто бы Вы полагаете, что нет.

В любом случае, насколько хаос связан с биологическими объектами вообще и морфогенезом в частности, есть вопрос куда менее простой. Усложняется он тем, что мы говорим о фракталах, сложных системах, нелинейных динамических системах, emergence — и все эти понятия перекрываются, а вдобавок еще и имеют немного разный смысл в приложении к разным дисциплинам. Мы можем сказать, что береговая линия Англии — фрактал. Однако, ни песчинка, ни Солнечная система не фрактальны: фрактальность Англии проявляется только в ограниченном диапазоне масштабов. Математическое определение хаотической системы требует трех свойств: чувствительности к начальным условиям, плотности фазовой орбиты и топологической транзитивности. Понятно, что свойства эти применимы к модели, но не к объекту (предполагая, что объект выделяется иначе, нежели модельным описанием — то, о чем я оговорился выше). Строгое определение хаоса в прикладных задачах потому «не работает».

Более того, в прикладном моделировании хаотические системы имеют ограничения. Скажем, система из полусотни дифуров мало пригодна для практического применения, и как предсказательная модель она не будет работать просто уже в силу сложности вычислений и накопления ошибок (либо потребует вычислений с точностью, которая еще увеличит потребные вычислительные ресурсы многократно).

Вернее всего было бы сказать, что под «хаосом» следует понимать сложное поведение в нелинейных динамических системах, даже когда оно и не удовлетворяет сильным математическим требованиям к хаотической системе. Но здесь опять возникнет неопределенность терминологии. Например, в морфологии мы по-видимому наблюдаем то, что называется emergence — но это тоже и не непременное свойство нелинейной динамики, и может возникать в модели без нее. Фракталы не обязательно хаос, нелинейная динамика не всегда порождает фракталы, критические системы не обязательно эмергентны… Здесь можно расставлять «не» до бесконечности.

В литературе тоже обнаруживается некоторый разброд и изрядное шатание. В [1] Gisiger говорит о том, что хаос в природе не встречается, а бывает только в моделях, в [2] Klonowski пишет, что хаос повсеместен. Это скорее крайние мнения; можно обнаружить оных полный спектр. Ничего неожиданного также и в том, что биологи тяготеют к первому полюсу, а кибернетики к последнему…

Беда здесь, конечно же в том, что динамические системы — инструмент мощный, но достаточно мало изученный — в отличие от тех же логарифмов. Описание раковины логарифмами все объясняет. Описание листа растения динамической системой еще не дает такого же прозрачного объяснения — мы не умеем их толком понимать. Хотя, пожалуй, описание и моделирование биологических процессов без нелинейных динамических систем обойтись не может, так что в этом смысле они, конечно, наутилусовым логарифмам, несомненно, подобны.

Различие, еще раз подчеркну, в первую очередь в нашем понимании — которое еще не выросло. Мы, например, запросто оперируем вещественными числами, хотя, когда я пытаюсь представить себе множество вещественных чисел на интервале ]0;1[, мне иногда кажется, что я не в состоянии этого сделать. Вещи, которые мы применяем каждый день, оказываются, если копнуть глубже, уму непостижимыми. Сложность нелинейной динамики, мне кажется, в том, что наше понимание к ней не адаптировалось, а вовсе не в сложности самой этой науки. Но тут я, кажется, уже далеко в сторону ухожу от темы.
anatol_olegych
May. 17th, 2010 08:50 pm (UTC)
Большое спасибо за подробный ответ и за ссылки: надо будет иx прочитать.

Насчет логарифмов и раковины наутилуса -- Вы совершенно правы, логарифмы там возникают естественным образом.

Насчет всего остального, я примерно так это себе и представлял. В некотором смысле, это становится вопросом определений. Если мы определяем сложные динамические процессы как "xаос", то, само собой, сложный динамический процесс наподобие морфогенеза будет "xаотическим". С другой стороны, насколько плодотворны подобные семантические упражнения?

Более плодотворные вопросы (как мне кажется) происxодят из наблюдения, что листья бывают разной формы. Значит ли это, что множество Мандельброта фундаментально для одниx листьев (кардиоидо-подобныx), но не для другиx; если есть мутация, меняющая форму листьев, то как она связана с этим свойством; какие именно процессы необxодимы и достаточны для устройства данного xаотического аттрактора; и т.д. В несколько другой формулировке это стандартные вопросы биологии развития -- может быть, поэтому они мне, биологу, и кажутся более плодотворными... Насколько "xаотические" формулировки приведут к неожиданным ответам, другими путями недостижимым, для меня остается открытым вопросом.
fregimus
May. 16th, 2010 06:52 am (UTC)
[1] Gisiger T. Scale invariance in biology: coincidence or footprint of a universal mechanism? Biol. Rev. (2001) 76, pp. 161-209. Великолепная обзорная статья, хоть и 10-летней давности.

[2] Klonowski W. The Metaphor of Chaos. In: Konopka AK. Systems Biology, New York: McGraw-Hill, 2007., pp. 115-138.
(Deleted comment)
fregimus
May. 9th, 2010 09:36 am (UTC)
Я старался!
ma535468
May. 9th, 2010 07:02 pm (UTC)
творчество
fregimus
May. 9th, 2010 08:41 pm (UTC)
Ну да — просто картинки. Ничего математически ценного из такой кривой извлечь нельзя. Или лучше так: почти наверняка нельзя. Иногда удивишься, из чего извлекают…
ma535468
May. 10th, 2010 12:04 am (UTC)
http://www.ams.org/mathimagery/thumbnails.php?album=8

не скажите, не скажите.
посмотрите что другие делают.
и что в отличие от Вас не показывают как.

не принижайте себя.
(Anonymous)
May. 9th, 2010 08:34 pm (UTC)
Потрясающе ^_^
Графики в Mathematica строили, как я понял?
fregimus
May. 9th, 2010 08:39 pm (UTC)
Да, в ней самой.
( 16 comments — Leave a comment )